Prove que:
ii). A cup U=U.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: um conjunto qualquer A cup U ;=;U e o conjunto universo . O enunciado pede pra provar que
O conteúdo é teoria de conjuntos, mais especificamente união e propriedades do conjunto universo. Vamos precisar da definição de união e da ideia de que tudo que está em também está em (porque é “o maior” conjunto do contexto).

Passo 2

Mostrar que xin A ;lor; xin U .
  1. Pegue um elemento qualquer A cup U subseteq U .
  2. Pela definição de união, isso significa que
  3. Se , como , temos . Se , beleza, já está em .
  4. Logo, em qualquer caso, . Isso prova que

Passo 3

Mostrar que yin A cup U .
  1. Pegue um elemento qualquer U subseteq A cup U .
  2. Pela definição de união, se , então automaticamente porque basta que ele esteja em um dos dois conjuntos, e ele está em .
  3. Pronto, isso mostra que

Resposta

Como mostramos as duas inclusões
A cup U subseteq U e U subseteq A cup U,
podemos concluir que
A cup U = U

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