Sejam
e
dois subconjuntos limitados e não-vazios de
e
e
. Mostre que o conjunto
possui supremo
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são subconjuntos de , ambos limitados e não-vazios. -
e .
O que se pede:
- Mostrar que o conjunto
possui supremo . - Mostrar que esse supremo satisfaz
.
Passo 2
Lembrando definições e fatos fundamentais (de forma bem direta):
- Um número
é uma cota superior de um conjunto se para todo vale . - O supremo de
, , é a menor cota superior de (ou seja, é uma cota superior e nenhuma cota menor que ele é cota superior). - Teorema usado sem prova aqui: se
é não-vazio e limitado superiormente então existe em .
Aplicando ao problema: comoe são não-vazios e limitados superiormente, existem e . Defina
Nos passos seguintes vamos provar que
é justamente
.
Passo 3
Mostro que
é uma cota superior de
.
Se
então ou
ou
.
- Se
então porque é cota superior de e . - Se
então porque é cota superior de e .
Portanto, para todo
vale
. Assim
é uma cota superior de
. Em particular
é limitado superiormente, então
existe (é finito).
Passo 4
Mostro que
é a menor cota superior, ou seja, que para qualquer
existe
tal que
. Isso garante que não existe cota superior menor que
.
Como
, claramente temos duas possibilidades:
ou
. Trato cada caso (é curto):
Caso 1:
. Como
, pela propriedade do supremo, para qualquer
existe
tal que
Como
e
, segue
. Logo para todo
existe elemento de
maior que
.
Caso 2:
. Análogo: como
, para qualquer
existe
com
e como
obtemos
.
Em ambos os casos, para todo
existe
tal que
. Isso mostra que nenhuma cota estritamente menor que
pode ser cota superior de
. Portanto
é a menor cota superior, ou seja,
Passo 5
Concluímos que o supremo
do conjunto
existe e é dado por