Sejam A e B dois subconjuntos limitados e não-vazios de \mathbb{R} e \operatorname{sejam} a=\sup A e b=\sup B. Mostre que o conjunto A \cup B possui supremo c e c=\max \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são subconjuntos de \mathbb{R}, ambos limitados e não-vazios.
  • a=\sup A e b=\sup B.
O que se pede:
  • Mostrar que o conjunto A\cup B possui supremo c.
  • Mostrar que esse supremo satisfaz c=\max\{a,b\}.

Passo 2

Lembrando definições e fatos fundamentais (de forma bem direta):
  • Um número u é uma cota superior de um conjunto S\subset\mathbb{R} se para todo x\in S vale x\le u.
  • O supremo de S, \sup S, é a menor cota superior de S (ou seja, é uma cota superior e nenhuma cota menor que ele é cota superior).
  • Teorema usado sem prova aqui: se S\subset\mathbb{R} é não-vazio e limitado superiormente então \sup S existe em \mathbb{R}.
    Aplicando ao problema: como A e B são não-vazios e limitados superiormente, existem a=\sup A\in\mathbb{R} e b=\sup B\in\mathbb{R}. Defina
M=\max\{a,b\}.
Nos passos seguintes vamos provar que M é justamente \sup(A\cup B).

Passo 3

Mostro que M é uma cota superior de A\cup B.
Se x\in A\cup B então ou x\in A ou x\in B.
  • Se x\in A então x\le a\le M porque a=\sup A é cota superior de A e M\ge a.
  • Se x\in B então x\le b\le M porque b=\sup B é cota superior de B e M\ge b.
Portanto, para todo x\in A\cup B vale x\le M. Assim M é uma cota superior de A\cup B. Em particular A\cup B é limitado superiormente, então \sup(A\cup B) existe (é finito).

Passo 4

Mostro que M é a menor cota superior, ou seja, que para qualquer \varepsilon>0 existe y\in A\cup B tal que y>M-\varepsilon. Isso garante que não existe cota superior menor que M.
Como M=\max\{a,b\}, claramente temos duas possibilidades: M=a ou M=b. Trato cada caso (é curto):
Caso 1: M=a. Como a=\sup A, pela propriedade do supremo, para qualquer \varepsilon>0 existe x\in A tal que
a-\varepsilon < x \le a.
Como x\in A\subset A\cup B e a=M, segue x>M-\varepsilon. Logo para todo \varepsilon>0 existe elemento de A\cup B maior que M-\varepsilon.
Caso 2: M=b. Análogo: como b=\sup B, para qualquer \varepsilon>0 existe x\in B\subset A\cup B com
b-\varepsilon < x \le b,
e como b=M obtemos x>M-\varepsilon.
Em ambos os casos, para todo \varepsilon>0 existe x\in A\cup B tal que x>M-\varepsilon. Isso mostra que nenhuma cota estritamente menor que M pode ser cota superior de A\cup B. Portanto M é a menor cota superior, ou seja,
M=\sup(A\cup B).

Passo 5

Concluímos que o supremo c do conjunto A\cup B existe e é dado por
c=\sup(A\cup B)=\max\{a,b\}.

Resposta

\displaystyle c=\sup(A\cup B)=\max\{a,b\}

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