Sendo U e V dois subconjuntos limitados superiormente e não vazios de \mathbb{R}, tais que \sup U< \sup V, mostre as seguintes afirmações:
a) Se x \in U, então x<\sup V.
b) Existe pelo menos um y \in V tal que y>\sup U.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • U e V são subconjuntos de \mathbb{R}, não vazios e limitados superiormente.
  • \sup U<\sup V.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que, se x\in U, então x<\sup V.
(b) Mostrar que existe pelo menos um y\in V tal que y>\sup U.

Passo 2

Vamos lembrar e entender bem o que significa “ \sup” (supremo, ou mínimo majorante) porque é a ferramenta que vamos usar o tempo todo.
Definição e propriedades importantes:
  • Dizer que s=\sup A para um conjunto não vazio A\subset\mathbb{R} e limitado superiormente significa duas coisas:
    1. (Majorante) Para todo a\in A vale a\le s. Ou seja, s é um número que é maior ou igual a todos os elementos de A.
    2. (Mínimo dos majorantes) Se M é qualquer outro majorante de A (ou seja, se para todo a\in A vale a\le M), então s\le M. Outra forma muito usada e prática dessa propriedade é a propriedade de aproximação:
      • Para todo \varepsilon>0 existe a\in A tal que a>s-\varepsilon. Em palavras: sempre existe um elemento de A arbitrariamente próximo de s por baixo.
  • Exemplinho para fixar: se A=(0,1) então \sup A=1. De fato todo elemento de A é \le 1 e, dado \varepsilon>0, existe a\in(0,1) com a>1-\varepsilon (basta escolher a bem perto de 1). Isso ilustra as duas propriedades acima.
Vou usar essas duas propriedades: (i) todo elemento do conjunto é menor ou igual ao seu supremo; (ii) para qualquer \varepsilon>0 há um elemento do conjunto maior que o supremo menos \varepsilon.

Passo 3

Prova da parte (a).
Começo lembrando a propriedade (i) do passo anterior aplicada a U: para todo x\in U vale
x\le \sup U.
Pelo enunciado sabemos também que
\sup U<\sup V.
Agora uso a transitividade das desigualdades: se x\le \sup U e \sup U<\sup V, então
x<\sup V.
Isto prova que, para qualquer x\in U, x<\sup V. Note que não precisamos saber nada mais sobre x: mesmo se x=\sup U (caso \sup U\in U), ainda assim x=\sup U<\sup V, logo x<\sup V. Assim a afirmação (a) está demonstrada.

Passo 4

Prova da parte (b).
Queremos mostrar que existe algum y\in V com y>\sup U.
Como \sup U<\sup V, a diferença
\delta := \sup V - \sup U
é um número estritamente positivo, isto é \delta>0.
Agora aplico a propriedade (ii) do supremo, desta vez ao conjunto V e tomando \varepsilon=\delta. A propriedade diz: para todo \varepsilon>0 existe um elemento y\in V tal que
y>\sup V-\varepsilon.
Tomando \varepsilon=\delta obtemos a existência de y\in V com
y>\sup V-\delta.
Mas substituindo \delta=\sup V-\sup U na expressão da direita temos
\sup V-\delta=\sup V-(\sup V-\sup U)=\sup U.
Portanto o y fornecido pela propriedade satisfaz
y>\sup U.
Isso mostra exatamente que existe pelo menos um y\in V com y>\sup U, que é o que queríamos demonstrar.

Passo 5

Resumo intuitivo e motivação para a prova (dica para a prova na hora):
  • (a) é quase imediato: tudo em U é \le\sup U e \sup U<\sup V, então qualquer x\in U fica estritamente abaixo de \sup V.
  • (b) usa a ideia fundamental do supremo: \sup V não é apenas um majorante, ele é o menor majorante, o que implica que existem elementos de V arbitrariamente próximos de \sup V por baixo. Como \sup U está estritamente menor que \sup V, escolhendo um elemento de V suficientemente próximo de \sup V já ultrapassamos \sup U.
Força aí — é normal ficar emperrado nessas definições de supremo; mas com essa ideia do “maior limite do conjunto” e da propriedade dos \varepsilon fica bem direto.

Resposta

(a) Para todo x\in U vale x<\sup V.
(b) Existe y\in V tal que y>\sup U.

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