Sendo
e
dois subconjuntos limitados superiormente e não vazios de
, tais que
, mostre as seguintes afirmações:
a) Se
, então
.
b) Existe pelo menos um
tal que
.
a) Se
b) Existe pelo menos um
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são subconjuntos de , não vazios e limitados superiormente. -
.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Mostrar que, se , então
.
(b) Mostrar que existe pelo menos um tal que
.
(a) Mostrar que, se
(b) Mostrar que existe pelo menos um
Passo 2
Vamos lembrar e entender bem o que significa “
” (supremo, ou mínimo majorante) porque é a ferramenta que vamos usar o tempo todo.
Definição e propriedades importantes:
- Dizer que
para um conjunto não vazio e limitado superiormente significa duas coisas: - (Majorante) Para todo
vale . Ou seja, é um número que é maior ou igual a todos os elementos de . - (Mínimo dos majorantes) Se
é qualquer outro majorante de (ou seja, se para todo vale ), então . Outra forma muito usada e prática dessa propriedade é a propriedade de aproximação: - Para todo
existe tal que . Em palavras: sempre existe um elemento de arbitrariamente próximo de por baixo.
- Para todo
- (Majorante) Para todo
- Exemplinho para fixar: se
então . De fato todo elemento de é e, dado , existe com (basta escolher bem perto de ). Isso ilustra as duas propriedades acima.
Vou usar essas duas propriedades: (i) todo elemento do conjunto é menor ou igual ao seu supremo; (ii) para qualquer
há um elemento do conjunto maior que o supremo menos
.
Passo 3
Prova da parte (a).
Começo lembrando a propriedade (i) do passo anterior aplicada a
: para todo
vale
Pelo enunciado sabemos também que
Agora uso a transitividade das desigualdades: se
e
, então
Isto prova que, para qualquer
,
. Note que não precisamos saber nada mais sobre
: mesmo se
(caso
), ainda assim
, logo
. Assim a afirmação (a) está demonstrada.
Passo 4
Prova da parte (b).
Queremos mostrar que existe algum
com
.
Como
, a diferença
é um número estritamente positivo, isto é
.
Agora aplico a propriedade (ii) do supremo, desta vez ao conjunto
e tomando
. A propriedade diz: para todo
existe um elemento
tal que
Tomando
obtemos a existência de
com
Mas substituindo
na expressão da direita temos
Portanto o
fornecido pela propriedade satisfaz
Isso mostra exatamente que existe pelo menos um
com
, que é o que queríamos demonstrar.
Passo 5
Resumo intuitivo e motivação para a prova (dica para a prova na hora):
- (a) é quase imediato: tudo em
é e , então qualquer fica estritamente abaixo de . - (b) usa a ideia fundamental do supremo:
não é apenas um majorante, ele é o menor majorante, o que implica que existem elementos de arbitrariamente próximos de por baixo. Como está estritamente menor que , escolhendo um elemento de suficientemente próximo de já ultrapassamos .
Força aí — é normal ficar emperrado nessas definições de supremo; mas com essa ideia do “maior limite do conjunto” e da propriedade dos
fica bem direto.
Resposta
(a) Para todo
vale
.
(b) Existe
tal que
.