Prove que:
Se y=\operatorname{cotg} x, então y^{\prime}=-\operatorname{cossec}^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\operatorname{cotg}x. Para isso, vamos usar a definição
\operatorname{cotg}x = \frac{\cos x}{\sin x},
conhecer as derivadas de \sin x e \cos x e aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Seja
u(x)=\cos x, \quad v(x)=\sin x.
Então
y = \frac{u}{v}
e, pela regra do quociente,
y' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 3

Calculamos u' e v':
u' = (\cos x)' = -\sin x, \quad v' = (\sin x)' = \cos x.
Substituindo em
y' = \frac{(-\sin x)\,\sin x \;-\;\cos x\,\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}.
Como \sin^2 x + \cos^2 x = 1, isso fica
y' = -\frac{1}{\sin^2 x}.

Passo 4

Reconhecendo que \dfrac{1}{\sin^2 x} = \operatorname{cossec}^2(x), concluímos
y' = -\operatorname{cossec}^2(x).

Resposta

y' = -\operatorname{cossec}^2(x).

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