Encontrar f^{\prime}(x).
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x, & x \leq 0 \\\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida por partes:
f(x)= \begin{cases} 1 - x, & x \le 0,\\\ e^{-x}, & x > 0.
O conteúdo que vamos usar é a regra de derivação de funções elementares (reta e exponencial) e o conceito de derivada lateral para verificar se existe derivada em x=0.

Passo 2

Para x<0, temos f(x)=1-x. Usando a regra de derivada de uma reta,
\frac{d}{dx}(1 - x) = -1.
Logo, para x<0,
f'(x) = -1.

Passo 3

Para x>0, temos f(x)=e^{-x}. Aplicando a regra da cadeia em exponencial,
\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(-x) = -\,e^{-x}.
Portanto, para x>0,
f'(x) = -\,e^{-x}.

Passo 4

Agora é preciso checar x=0. Calculamos as derivadas laterais:
– Derivada pela esquerda em 0:
f'_{-}(0) = -1.
– Derivada pela direita em 0:
f'_{+}(0) = -\,e^{-0} = -1.
Como f'_{-}(0)=f'_{+}(0)=-1, a derivada existe em x=0 e vale -1.

Passo 5

Juntando tudo, a derivada é dada por
f'(x)= \begin{cases} -1, & x \le 0,\\\\ -\,e^{-x}, & x > 0.

Resposta

f'(x)= \begin{cases} -1, & x \le 0,\\\\ -\,e^{-x}, & x > 0.

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