Na próxima questão, estudaremos o comportamento de uma molécula diatômica. Para isso, comecemos, nesta questão, com uma reflexão sobre a oscilação de um sistema de duas partículas.
Considere duas partículas puntiformes de massas m_{1} e m_{2} presas por uma mola elástica de constante elástica k. Sejam x_{1}(t) e x_{2}(t), com x_{1}(t)>x_{2}(t), as posições das partículas relativamente a um sistema de referencial inercial. Não há nenhuma outra força atuando sobre as partículas.
(a) Mostre que a elongação da mola no instante t é dada por
u(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)-L,
onde L é o comprimento natural da mola.
(b) A partir da segunda lei de Newton, mostre que m_{1} \ddot{x}_{1}(t)=-k u(t) e m_{2} \ddot{x}_{2}(t)=k u(t).
(c) Mostre que \mu \ddot{u}(t)+k u(t)=0, onde \mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} (denominada massa reduzida do sistema).
(d) Resolva essa equação diferencial para u e determine o período de oscilação do sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Duas partículas puntiformes com massas \,m_{1} e \,m_{2}.
    • Posições das partículas relativamente a um referencial inercial: \,x_{1}(t) e \,x_{2}(t), com \,x_{1}(t) > x_{2}(t).
    • As partículas estão ligadas por uma mola elástica de constante elástica \,k e comprimento natural \,L.
    • Não há outras forças atuando além da força da mola.
  • O que o enunciado pede (itens):
    (a) Mostrar que a elongação da mola no instante t é \,u(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)-L.
    (b) A partir da segunda lei de Newton, mostrar que \,m_{1}\ddot{x}_{1}(t)=-k\,u(t) e \,m_{2}\ddot{x}_{2}(t)=k\,u(t).
    (c) Mostrar que \,\mu\ddot{u}(t)+k\,u(t)=0, onde \,\mu=\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
    (d) Resolver essa equação diferencial para \,u e determinar o período de oscilação do sistema.

Passo 2

(a) Entendendo e definindo a elongação \,u(t).
  • A mola tem comprimento natural \,L quando não está deformada. Se os pontos ocupados pelas massas estão em \,x_{1}(t) e \,x_{2}(t) e \,x_{1}>x_{2}, então o comprimento atual da mola é a distância entre as partículas:
\text{comprimento atual} = x_{1}(t)-x_{2}(t).
  • A elongação (ou deformação) \,u(t) é a diferença entre o comprimento atual e o comprimento natural \,L: ou seja,
u(t)=\bigl(\text{comprimento atual}\bigr)-L.
Portanto,
u(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)-L.
Isto conclui (a): escrevemos explicitamente a elongação em termos de \,x_{1} e \,x_{2}.

Passo 3

(b) Forças da mola e sinais: aplicar a segunda lei de Newton.
  • Lei de Hooke: a força elástica da mola tem módulo \,k|u| e sinal que tende a reduzir a elongação. Em formulismo unidimensional com eixo x orientado para a direita, se a mola está alongada ( u>0), ela puxa a partícula à esquerda para a direita e a partícula à direita para a esquerda. Com nossas posições ( x_{1} à direita de x_{2}), a força sobre a partícula 1 (à direita) é para a esquerda e vale -k\,u(t) (sinal negativo indica direção para a esquerda). A força sobre a partícula 2 (à esquerda) é para a direita e vale +k\,u(t).
  • Aplicando a segunda lei de Newton ( F= m \, a) para cada partícula:
    • Para a massa \,m_{1}: a força resultante é F_{1}=-k\,u(t). Logo,
    m_{1}\ddot{x}_{1}(t) = -k\,u(t).
    • Para a massa \,m_{2}: a força resultante é F_{2}=+k\,u(t). Logo,
    m_{2}\ddot{x}_{2}(t) = +k\,u(t).
  • Observação didática rápida sobre sinais: escolher um eixo orientado para a direita e manter consistência (aceleração positiva para a direita). A mola sempre exerce forças opostas nas duas massas (terceira lei de Newton), por isso cargas com sinais opostos.

Passo 4

(c) Obter a equação para \,u(t) a partir das equações de movimento.
  • Lembremos da definição já obtida de \,u(t):
u(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)-L.
Como L é constante, derivando duas vezes em relação a t temos
\ddot{u}(t)=\ddot{x}_{1}(t)-\ddot{x}_{2}(t).
  • Usando as equações de movimento do Passo 3:
\ddot{x}_{1}(t)=\frac{-k\,u(t)}{m_{1}},\qquad \ddot{x}_{2}(t)=\frac{+k\,u(t)}{m_{2}}.
Substituindo em \ddot{u}:
\ddot{u}(t)=\frac{-k\,u(t)}{m_{1}}-\frac{k\,u(t)}{m_{2}} = -k\,u(t)\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right).
  • Colocando em forma conveniente, note que
\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}.
Logo
\ddot{u}(t) = -k\,u(t)\,\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}.
  • Multiplicando ambos os lados por \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} obtemos
\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,\ddot{u}(t) + k\,u(t) = 0.
  • Definindo a massa reduzida
\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}},
a equação fica compacta:
\mu\,\ddot{u}(t)+k\,u(t)=0.
Isto conclui (c).

Passo 5

Interpretação física da massa reduzida \,\mu (breve aula).
  • A massa reduzida \,\mu surge sempre que temos duas massas ligadas por uma mola e estamos interessados no modo relativo (o estiramento/compressão da mola). Ela representa uma “massa efetiva” que participa da oscilação relativa: o sistema de duas massas se comporta, para o movimento relativo u, como uma única massa \mu presa a uma mola de constante k.
  • Limites de \mu:
    • Se \,m_{2}\gg m_{1}, então \mu\approx m_{1} (a massa maior fica praticamente fixa e a pequena oscila).
    • Se \,m_{1}=m_{2}=m, então \mu=\dfrac{m\cdot m}{2m}=\dfrac{m}{2}.
  • Esse é um truque muito útil: reduzir o problema de duas massas a um problema de oscilador simples para a coordenada relativa.

Passo 6

(d) Resolver a equação diferencial para \,u(t) e encontrar o período.
  • A equação obtida é a equação homogênea do oscilador harmônico simples:
\mu\,\ddot{u}(t)+k\,u(t)=0.
  • Dividindo por \mu:
\ddot{u}(t) + \frac{k}{\mu}\,u(t)=0.
  • Esta é a equação padrão de movimento harmônico simples. A solução geral é
u(t)=A\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr),
onde A (amplitude) e \varphi (fase inicial) são constantes determinadas pelas condições iniciais \,u(0) e \dot{u}(0), e a frequência angular \omega é
\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}.
  • O período de oscilação T (tempo para uma oscilação completa) é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}.
  • Substituindo a expressão de \mu em termos de \,m_{1} e \,m_{2},
\omega=\sqrt{\frac{k\,(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m_{1}m_{2}}{k\,(m_{1}+m_{2})}}.
  • Observação prática: para determinar A e \varphi na prova, use as condições iniciais. Por exemplo,
u(0)=A\cos\varphi,\qquad \dot{u}(0)=-A\omega\sin\varphi,
e resolve-se para A e \varphi.

Resposta

(a) u(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)-L
(b) m_{1}\ddot{x}_{1}(t)=-k\,u(t) e m_{2}\ddot{x}_{2}(t)=k\,u(t)
(c) \displaystyle \mu\ddot{u}(t)+k\,u(t)=0, com \displaystyle \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
(d) \displaystyle u(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr) com \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}} e \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{m_{1}m_{2}}{k(m_{1}+m_{2})}}

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