Na próxima questão, estudaremos o comportamento de uma molécula diatômica. Para isso, comecemos, nesta questão, com uma reflexão sobre a oscilação de um sistema de duas partículas.
Considere duas partículas puntiformes de massas
e
presas por uma mola elástica de constante elástica
. Sejam
e
, com
, as posições das partículas relativamente a um sistema de referencial inercial. Não há nenhuma outra força atuando sobre as partículas.
(a) Mostre que a elongação da mola no instante
é dada por
onde
é o comprimento natural da mola.
(b) A partir da segunda lei de Newton, mostre que
e
.
(c) Mostre que
, onde
(denominada massa reduzida do sistema).
(d) Resolva essa equação diferencial para
e determine o período de oscilação do sistema.
(a) Mostre que a elongação da mola no instante
(b) A partir da segunda lei de Newton, mostre que
(c) Mostre que
(d) Resolva essa equação diferencial para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Duas partículas puntiformes com massas
e . - Posições das partículas relativamente a um referencial inercial:
e , com . - As partículas estão ligadas por uma mola elástica de constante elástica
e comprimento natural . - Não há outras forças atuando além da força da mola.
- Duas partículas puntiformes com massas
- O que o enunciado pede (itens):
(a) Mostrar que a elongação da mola no instanteé .
(b) A partir da segunda lei de Newton, mostrar quee .
(c) Mostrar que, onde .
(d) Resolver essa equação diferencial parae determinar o período de oscilação do sistema.
Passo 2
(a) Entendendo e definindo a elongação
.
- A mola tem comprimento natural
quando não está deformada. Se os pontos ocupados pelas massas estão em e e , então o comprimento atual da mola é a distância entre as partículas:
- A elongação (ou deformação)
é a diferença entre o comprimento atual e o comprimento natural : ou seja,
Portanto,
Isto conclui (a): escrevemos explicitamente a elongação em termos de
e
.
Passo 3
(b) Forças da mola e sinais: aplicar a segunda lei de Newton.
- Lei de Hooke: a força elástica da mola tem módulo
e sinal que tende a reduzir a elongação. Em formulismo unidimensional com eixo orientado para a direita, se a mola está alongada ( ), ela puxa a partícula à esquerda para a direita e a partícula à direita para a esquerda. Com nossas posições ( à direita de ), a força sobre a partícula 1 (à direita) é para a esquerda e vale (sinal negativo indica direção para a esquerda). A força sobre a partícula 2 (à esquerda) é para a direita e vale . - Aplicando a segunda lei de Newton (
) para cada partícula: - Para a massa
: a força resultante é . Logo,
- Para a massa
: a força resultante é . Logo,
- Para a massa
- Observação didática rápida sobre sinais: escolher um eixo orientado para a direita e manter consistência (aceleração positiva para a direita). A mola sempre exerce forças opostas nas duas massas (terceira lei de Newton), por isso cargas com sinais opostos.
Passo 4
(c) Obter a equação para
a partir das equações de movimento.
- Lembremos da definição já obtida de
:
Como
é constante, derivando duas vezes em relação a
temos
- Usando as equações de movimento do Passo 3:
Substituindo em
:
- Colocando em forma conveniente, note que
Logo
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos
- Definindo a massa reduzida
a equação fica compacta:
Isto conclui (c).
Passo 5
Interpretação física da massa reduzida
(breve aula).
- A massa reduzida
surge sempre que temos duas massas ligadas por uma mola e estamos interessados no modo relativo (o estiramento/compressão da mola). Ela representa uma “massa efetiva” que participa da oscilação relativa: o sistema de duas massas se comporta, para o movimento relativo , como uma única massa presa a uma mola de constante . - Limites de
: - Se
, então (a massa maior fica praticamente fixa e a pequena oscila). - Se
, então .
- Se
- Esse é um truque muito útil: reduzir o problema de duas massas a um problema de oscilador simples para a coordenada relativa.
Passo 6
(d) Resolver a equação diferencial para
e encontrar o período.
- A equação obtida é a equação homogênea do oscilador harmônico simples:
- Dividindo por
:
- Esta é a equação padrão de movimento harmônico simples. A solução geral é
onde
(amplitude) e
(fase inicial) são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
, e a frequência angular
é
- O período de oscilação
(tempo para uma oscilação completa) é dado por
- Substituindo a expressão de
em termos de e ,
- Observação prática: para determinar
e na prova, use as condições iniciais. Por exemplo,
e resolve-se para
e
.
Resposta
(a)
(b) e
(c) , com
(d) com
e
(b)
(c)
(d)