Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{a t} \operatorname{sen}(a t)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: calcular a transformada de Laplace da função f(t)=e^{a t}\operatorname{sen}(a t).
  • Informação dada: a função é f(t)=e^{a t}\sin(a t). Não há valores numéricos para a; trataremos a como uma constante real qualquer.
  • Objetivo claro: obter \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt e informar a região de convergência (condição sobre \Re(s)).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e estratégia.
  • Definição: para uma função g(t) definida em t\ge0, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}g(t)\,dt,
desde que a integral convirja (ou seja, o integrando tende a zero suficientemente rápido no infinito).
  • Aplicando a definição diretamente em f(t)=e^{a t}\sin(a t) teremos uma integral do tipo
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\sin(a t)\,dt.
Vou calcular essa integral de forma explícita (método básico): fazer a integral impropriedade usando integração por partes duas vezes. Para simplificar a notação, chamo
p=s-a,\qquad \omega=a,
assim a integral a calcular é
I(p,\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-p t}\sin(\omega t)\,dt,
com a condição necessária para convergência \Re(p)>0 (ou seja \Re(s)>a).

Passo 3

Primeira integração por partes para I(p,\omega).
  • Tomo u=\sin(\omega t) e dv=e^{-p t}dt. Então du=\omega\cos(\omega t)dt e v=-\dfrac{1}{p}e^{-p t}.
  • Aplicando \int u\,dv = u v - \int v\,du:
I(p,\omega)=\left[-\frac{1}{p}e^{-p t}\sin(\omega t)\right]_{0}^{\infty}+\frac{\omega}{p}\int_{0}^{\infty}e^{-p t}\cos(\omega t)\,dt.
  • O termo de fronteira vale zero porque, para \Re(p)>0, e^{-p t}\to0 quando t\to\infty; e no limite inferior em t=0 a expressão é nula por \sin(0)=0. Portanto obtemos a relação
I(p,\omega)=\frac{\omega}{p}\,J(p,\omega),
onde definimos
J(p,\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-p t}\cos(\omega t)\,dt.

Passo 4

Segunda integração por partes para J(p,\omega).
  • Agora tomo u=\cos(\omega t) e dv=e^{-p t}dt. Então du=-\omega\sin(\omega t)dt e v=-\dfrac{1}{p}e^{-p t}.
  • Aplicando integração por partes:
J(p,\omega)=\left[-\frac{1}{p}e^{-p t}\cos(\omega t)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{p}e^{-p t}\right)\left(-\omega\sin(\omega t)\right)dt.
  • O termo de fronteira vale, para \Re(p)>0,
\left[-\frac{1}{p}e^{-p t}\cos(\omega t)\right]_{0}^{\infty}=0-\left(-\frac{1}{p}\cos 0\right)=\frac{1}{p}.
  • O integrando do segundo termo é \dfrac{\omega}{p}\int_{0}^{\infty}e^{-p t}\sin(\omega t)\,dt=\dfrac{\omega}{p}I(p,\omega). Assim
J(p,\omega)=\frac{1}{p}-\frac{\omega}{p}\,I(p,\omega).

Passo 5

Resolver o sistema linear entre I e J.
  • Das relações anteriores temos
I=\frac{\omega}{p}J \qquad\text{e}\qquad J=\frac{1}{p}-\frac{\omega}{p}I.
  • Substituindo J na primeira equação:
I=\frac{\omega}{p}\left(\frac{1}{p}-\frac{\omega}{p}I\right).
  • Expandindo e isolando I:
I=\frac{\omega}{p^{2}}-\frac{\omega^{2}}{p^{2}}I \quad\Longrightarrow\quad I\left(1+\frac{\omega^{2}}{p^{2}}\right)=\frac{\omega}{p^{2}}.
  • Simplificando:
I\cdot\frac{p^{2}+\omega^{2}}{p^{2}}=\frac{\omega}{p^{2}} \quad\Longrightarrow\quad I(p,\omega)=\frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}.

Passo 6

Voltar à variável original e discutir convergência.
  • Lembrando que p=s-a e \omega=a, e que a integral converge quando \Re(p)>0 (ou seja \Re(s)>a), obtemos a transformada de Laplace de f pela definição:
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(a t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{a t}\sin(a t)\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\sin(a t)\,dt =I(s-a,a).
  • Substituindo a expressão encontrada para I chegamos à forma final.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(a t)\}(s)=\dfrac{a}{(s-a)^{2}+a^{2}},\qquad \Re(s)>a.

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