Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede: calcular a transformada de Laplace da função
. - Informação dada: a função é
. Não há valores numéricos para ; trataremos como uma constante real qualquer. - Objetivo claro: obter
e informar a região de convergência (condição sobre ).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e estratégia.
- Definição: para uma função
definida em , a transformada de Laplace é
desde que a integral convirja (ou seja, o integrando tende a zero suficientemente rápido no infinito).
- Aplicando a definição diretamente em
teremos uma integral do tipo
Vou calcular essa integral de forma explícita (método básico): fazer a integral impropriedade usando integração por partes duas vezes. Para simplificar a notação, chamo
assim a integral a calcular é
com a condição necessária para convergência
(ou seja
).
Passo 3
Primeira integração por partes para
.
- Tomo
e . Então e . - Aplicando
:
- O termo de fronteira vale zero porque, para
, quando ; e no limite inferior em a expressão é nula por . Portanto obtemos a relação
onde definimos
Passo 4
Segunda integração por partes para
.
- Agora tomo
e . Então e . - Aplicando integração por partes:
- O termo de fronteira vale, para
,
- O integrando do segundo termo é
. Assim
Passo 5
Resolver o sistema linear entre
e
.
- Das relações anteriores temos
- Substituindo
na primeira equação:
- Expandindo e isolando
:
- Simplificando:
Passo 6
Voltar à variável original e discutir convergência.
- Lembrando que
e , e que a integral converge quando (ou seja ), obtemos a transformada de Laplace de pela definição:
- Substituindo a expressão encontrada para
chegamos à forma final.