Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
i) \ln \left(t g^{2}(x)\right)
Passo 1
O enunciado pede, para a função dada, os itens:
a) intervalos de crescimento e decrescimento;
b) valores de máximos e mínimos locais;
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) esboço do gráfico usando as informações anteriores.
A função dada é \ln\!\bigl(\operatorname{tg}^2(x)\bigr) (em notação habitual: \ln(\tan^2 x)). Não vou usar a imagem fornecida — ela não contém informação sobre a função trigonométrica dada — portanto vou resolver só a partir da expressão da função.
Passo 2
Determinar o domínio (informação importante antes de tudo).
A função \tan x está definida quando \cos x\neq 0, isto é, x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
No logaritmo \ln(\tan^2 x) é necessário \tan^2 x>0, isto é, \tan x\neq 0, o que elimina x=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Logo o domínio é
ou seja, todos os intervalos abertos entre múltiplos de \tfrac{\pi}{2}: (k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}) e (k\pi+\tfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi), para todo k\in\mathbb{Z}.
Passo 3
Simplificação útil (ajuda a derivar e interpretar): usar \ln(a^2)=2\ln|a|. Assim
Explico: \ln de um quadrado dá duas vezes o \ln do módulo da base, por isso aparece o valor absoluto. Esse passo é importante porque o log natural só pode receber argumentos positivos; o módulo corrige o sinal do \tan antes de aplicar o \ln.
Passo 4
Cálculo da derivada primeira (para estudar monotonia). Vou usar a regra da cadeia e a regra \dfrac{d}{dx}\ln|u(x)|=\dfrac{u'(x)}{u(x)} (valida quando u(x)\neq0). Tomando u(x)=\tan x temos u'(x)=\operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}. Assim
Usando a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x obtenho uma forma muito prática:
f'(x)=\frac{2}{\sin x\cos x}=\frac{4}{\sin(2x)}.
Observação: essa expressão só é válida onde está definida a função (ou seja, evita pontos onde \sin(2x)=0, que são precisamente os pontos excluídos do domínio).
Passo 5
Sinal da derivada → crescimento/decrescimento.
f'(x)=\dfrac{4}{\sin(2x)}. Logo o sinal de f' é o sinal de \sin(2x) multiplicado por +.
Se \sin(2x)>0 então f'(x)>0 e f é crescente. Se \sin(2x)<0 então f'(x)<0 e f é decrescente.
Agora uso a periodicidade/sinais de \sin: \sin(2x)>0 quando 2x\in(2k\pi,\,(2k+1)\pi), isto é, quando
Portanto em cada intervalo entre múltiplos de \pi a função cresce no primeiro meio (do múltiplo de \pi até o \pi/2 seguinte) e decresce no segundo meio.
Exemplo concreto (para fixar): em (0,\tfrac{\pi}{2}) temos \sin(2x)>0 então f cresce; em (\tfrac{\pi}{2},\pi)\sin(2x)<0 então f decresce.
Passo 6
Pontos críticos e extremos locais.
Uma possível origem de extremos é f'(x)=0. Mas f'(x)=\dfrac{4}{\sin(2x)} nunca se anula (numerador constante 4\neq0). Portanto não há pontos críticos internos com f'=0.
Outra possibilidade são extremos nas fronteiras do domínio (valores limites). Vamos ver os limites às bordas de cada intervalo elementar:
Quando x\to k\pi (onde \tan x\to 0) temos \tan^2 x\to 0 e \ln(\tan^2 x)\to -\infty. Logo \lim_{x\to k\pi} f(x)=-\infty.
Quando x\to k\pi+\tfrac{\pi}{2} (onde \tan x\to\pm\infty) temos \tan^2 x\to+\infty e \ln(\tan^2 x)\to +\infty. Logo \lim_{x\to k\pi+\tfrac{\pi}{2}} f(x)=+\infty.
Conclusão: não existem máximos ou mínimos locais finitos (não há x no domínio com f'(x)=0 e os limites nas bordas vão para \pm\infty). Em cada intervalo (k\pi, k\pi+\tfrac{\pi}{2}) a função vai de -\infty a +\infty (crescente) e em (k\pi+\tfrac{\pi}{2},(k+1)\pi) vai de +\infty a -\infty (decrescente).
Passo 7
Derivada segunda (para concavidade). Parto de f'(x)=\dfrac{4}{\sin(2x)}. Uso regra da cadeia para derivar (\sin(2x))^{-1}:
Lembrando que os pontos de descontinuidade \tfrac{n\pi}{2} já estão fora do domínio, portanto podemos escrever concavidade como a união acima (esses intervalos são naturalmente separados pelo pólo em k\pi+\tfrac{\pi}{2}).
f''(x)<0 (concavidade para baixo) quando \cos(2x)>0, isto é,
Esses pontos estão no domínio e, de fato, neles a concavidade muda de sinal. Além disso, note que nesses pontos \tan^2 x=1 (porque \tan(\pi/4)=\pm1), então
Assíntotas verticais: ocorrem onde \tan x tem pólos, isto é, em
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Nessas posições f(x)\to+\infty ao aproximar-se do pólo (dos dois lados, por causa do quadrado). Logo são assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: a função é periódica de período \pi (pois \tan^2(x+\pi)=\tan^2 x), logo não há limite único quando x\to\pm\infty; não existem assíntotas horizontais. Também não há assíntotas oblíquas porque a função volta a se repetir (não tende a uma reta).
Passo 10
Descrição para esboço (como desenhar na prova). Vou descrever o comportamento no intervalo base (0,\pi) e usar periodicidade \pi para repetir:
Em (0,\tfrac{\pi}{2}): f parte de -\infty em x\to 0^+, é crescente, tem ponto de inflexão em x=\tfrac{\pi}{4} com f(\tfrac{\pi}{4})=0, e tende a +\infty quando x\to(\tfrac{\pi}{2})^-.
Em (\tfrac{\pi}{2},\pi): f parte de +\infty em x\to(\tfrac{\pi}{2})^+, é decrescente, tem ponto de inflexão em x=\tfrac{3\pi}{4} com f(\tfrac{3\pi}{4})=0, e vai para -\infty quando x\to\pi^-.
Repetir esse padrão a cada deslocamento de \pi (periodicidade). Marque as assíntotas verticais em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, os pontos de inflexão em x=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2} onde a curva corta o eixo x em y=0, e o comportamento -\infty\to+\infty e depois +\infty\to-\infty em cada meio-intervalo.
Força final: ao desenhar, pense num “dente de serra” suave e simétrico em cada período, cruzando o eixo x nos pontos médios \tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}, com pólos verticais entre eles.
Resposta
a) Crescente em \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Decrescente em \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(k\pi+\tfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi\bigr).
b) Não há máximos ou mínimos locais finitos (não existem pontos com f'(x)=0; as bordas do domínio dão \lim_{x\to k\pi}f(x)=-\infty e \lim_{x\to k\pi+\tfrac{\pi}{2}}f(x)=+\infty).
c) Concavidade: concava para cima em \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(k\pi+\tfrac{\pi}{4},\;k\pi+\tfrac{3\pi}{4}\bigr) (observação: esses intervalos contêm o pólo k\pi+\tfrac{\pi}{2}, já excluído do domínio); concava para baixo em \displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(k\pi-\tfrac{\pi}{4},\;k\pi+\tfrac{\pi}{4}\bigr). Pontos de inflexão em \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}, com f\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
d) Assíntotas verticais em \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}. Não há assíntotas horizontais.
e) Esboço: função periódica de período \pi. Em cada período, no intervalo (k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}) a curva sobe de -\infty a +\infty (crescente) com ponto de inflexão no ponto médio onde cruza y=0; no intervalo (k\pi+\tfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi) a curva desce de +\infty a -\infty (decrescente) com outro ponto de inflexão e cruzamento em y=0. Marque as assíntotas verticais em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.