Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
e)
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
e)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
b) os máximos e mínimos locais;
c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) as assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
b) os máximos e mínimos locais;
c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) as assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações fornecidas/observações imediatas:
- A função pode ser escrita como
. - O domínio é todo
, pois a raiz cúbica existe para todos os . - Vamos precisar de derivadas primeiras e segundas; note que estamos lidando com potências fracionárias (expoentes
, , etc).
Passo 2
Derivada primeira — aula rápida e cálculo:
- Regra de potência: para
com , . Isso vale também para potências fracionárias. - Aplicando a isso a
:
- Podemos fatorar para simplificar a análise. Observe que
. Portanto:
Explicação didática: o fator
é igual a
. Para
ele é positivo (pois a potência
resulta em valor positivo mesmo para
negativo quando invertermos), e é indefinido em
. O sinal de
será então dado pelo sinal de
multiplicado por um coeficiente positivo.
Passo 3
Encontrar pontos críticos e monotonicidade:
- Pontos críticos ocorrem onde
ou não existe. Da expressão temos: -
quando . -
não existe em (fator explode).
-
Análise de sinal de
:
- Para
, . Logo o sinal de depende só de : - Se
, então — função decrescente. - Se
e , então — função crescente (tanto em quanto em ).
- Se
- Em
a derivada não existe, mas à esquerda e à direita de o sinal de é positivo (tende a em ambos os lados), então a função é crescente imediatamente antes e depois de .
Portanto:
- Decrescente em
. - Crescente em
e em .
Comentário didático: um ponto onde
não existe pode ser um ponto de máximo/mínimo ou um ponto de canto/entalho/vertical tangent — para decidir precisamos estudar o sinal de
em volta do ponto.
Passo 4
Máximos e mínimos locais:
- Em
: antes de a função é decrescente e depois de (até 0) é crescente. Então é um mínimo local. Calculamos o valor:
Assim, há um mínimo local (e, como veremos pelo comportamento em
, também absoluto) em
.
- Em
: a derivada não existe, mas é positiva tanto à esquerda quanto à direita de (tende a ). Logo não há extremum em ; o ponto é um ponto onde a tangente é vertical (declive infinito) — explicarei melhor adiante.
Observação extra: como
(veremos no passo de assíntotas), o mínimo em
com
é também o mínimo global.
Passo 5
Derivada segunda — aula rápida e cálculo para concavidade:
- Usamos a expressão já fatorada de
: . - Derivando (produto/constante): seja
, , . Então . -
. -
.
-
- Fazendo as contas:
Simplificando (fatorando
) chegamos a
Interpretação do sinal de
: para
é positivo; para
é negativo (pois
tem o mesmo sinal de
, e o inverso tem sinal igual ao de
). Assim o sinal de
é dado por
multiplicado por uma constante positiva.
Análise de concavidade:
- Para
: negativo e negativo produto positivo . Logo concavidade para cima em . - Para
: positivo e negativo produto negativo . Logo concavidade para baixo em . - Para
: positivo e positivo produto positivo . Logo concavidade para cima em .
Pontos de inflexão:
- Onde
ou muda de sinal: em . Como o sinal muda de negativo para positivo em , é ponto de inflexão. Valor:
- Em
temos indefinida, mas o sinal de muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Assim também é ponto de inflexão (embora não exista). Valor:
Comentário didático: um ponto de inflexão é onde a concavidade muda; não é necessário que
exista ali, apenas que a concavidade mude.
Passo 6
Assíntotas e comportamento nas extremidades:
- Assíntotas verticais: existem quando a função tende a
em algum ponto finito por descontinuidade vertical. Aqui está definida para todo , não há divisão por zero nem log de zero, etc. Portanto não há assíntotas verticais (apesar de e serem indefinidas em , é finito). - Assíntotas horizontais: observamos o comportamento para
. Como , o termo dominante é que tende a quando e também a quando (porque produto de dois sinais negativos dá positivo, como explicado abaixo). Assim não há assíntota horizontal. - Mais detalhado: para
, . Para , escrevendo com , temos e , então . Logo em ambas as extremidades, sem assíntotas horizontais.
- Mais detalhado: para
Ponto especial em
:
- Como visto,
quando . Isso significa que a tangente em é vertical (declive infinito). Não é assíntota vertical — a função tem um ponto finito com tangente vertical.
Passo 7
Resumo geométrico e esboço mental do gráfico (como desenhar na prova):
- Comportamento extremo:
tanto quando quanto quando . - Monotonicidade:
- Decrescente em
. - Crescente em
e em .
- Decrescente em
- Extremos:
- Mínimo em
com . É mínimo absoluto dado que nos infinities a função cresce muito. - Nenhum máximo local.
- Mínimo em
- Pontos notáveis:
-
: ponto com tangente vertical (não extremo), valor , mudança de concavidade (inflection). -
: ponto de inflexão com .
-
- Concavidade:
- Concava para cima em
. - Concava para baixo em
. - Concava para cima em
.
- Concava para cima em
Como esboçar passo a passo:
- Marque os pontos importantes:
, e . - Do lado esquerdo muito negativo a função vem de
, decresce e atinge o mínimo em . A curva é côncava para cima nesse trecho. - Depois de
sobe, mantendo concavidade para cima até , onde a inclinação cresce sem limite (tangente vertical) e passa por . - Após
a função continua subindo, agora com concavidade para baixo até (inflection em ), depois volta a ser côncava para cima e sobe para . - Não desenhe nenhuma assíntota horizontal nem vertical; apenas a tangente vertical em
como indicação que a curva fica muito íngreme ali.
Passo 8
Pequeno exemplo didático extra (como você pode aplicar em prova):
- Se tiver uma função do tipo
, o procedimento é o mesmo: expandir para potências fracionárias, calcular por regra de potência, fatorar para identificar sinais (preste atenção em pontos onde potências negativas tornam indefinida), e depois usar para concavidade. Procure sempre fatorar as derivadas para facilitar análise de sinais.
Resposta
a) Crescente em
e
. Decrescente em
.
b) Mínimo local (e absoluto) em com
. Não há máximo local.
c) Concavidade: côncava para cima em e em
; côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
com
e em
com
.
d) Não há assíntotas horizontais nem verticais. Há tangente vertical em (declive tende a
).
e) Esboço: curva vindo de à esquerda, decresce e atinge mínimo em
, sobe passando pelo ponto com tangente vertical
, continua subindo com concavidade para baixo até
(inflection), depois vira côncava para cima e vai a
quando
.
b) Mínimo local (e absoluto) em
c) Concavidade: côncava para cima em
d) Não há assíntotas horizontais nem verticais. Há tangente vertical em
e) Esboço: curva vindo de