Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
e) x^{1 / 3}(x+4)

Passo 1

O enunciado pede, para a função \;f(x)=x^{1/3}(x+4)\;:
a) os intervalos de crescimento e decrescimento;
b) os máximos e mínimos locais;
c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) as assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações fornecidas/observações imediatas:
  • A função pode ser escrita como \;f(x)=x^{4/3}+4x^{1/3}\;.
  • O domínio é todo \mathbb{R}, pois a raiz cúbica existe para todos os x.
  • Vamos precisar de derivadas primeiras e segundas; note que estamos lidando com potências fracionárias (expoentes \tfrac{1}{3}, \tfrac{4}{3}, etc).

Passo 2

Derivada primeira — aula rápida e cálculo:
  • Regra de potência: para \;g(x)=x^{p}\; com p\neq0, \;g'(x)=p x^{p-1}\;. Isso vale também para potências fracionárias.
  • Aplicando a isso a \;f(x)=x^{4/3}+4x^{1/3}\;:
f'(x)=\frac{4}{3}x^{1/3}+4\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}.
  • Podemos fatorar para simplificar a análise. Observe que x^{1/3}=x^{-2/3}\cdot x. Portanto:
f'(x)=\frac{4}{3}\bigl(x^{1/3}+x^{-2/3}\bigr)=\frac{4}{3}x^{-2/3}(x+1).
Explicação didática: o fator x^{-2/3} é igual a 1/x^{2/3}. Para x\neq0 ele é positivo (pois a potência 2/3 resulta em valor positivo mesmo para x negativo quando invertermos), e é indefinido em x=0. O sinal de f' será então dado pelo sinal de x+1 multiplicado por um coeficiente positivo.

Passo 3

Encontrar pontos críticos e monotonicidade:
  • Pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f' não existe. Da expressão \;f'(x)=\dfrac{4}{3}x^{-2/3}(x+1)\; temos:
    • f'(x)=0 quando x+1=0\Rightarrow x=-1.
    • f' não existe em x=0 (fator x^{-2/3} explode).
Análise de sinal de f':
  • Para x\neq0, x^{-2/3}>0. Logo o sinal de f' depende só de x+1:
    • Se x<-1, então x+1<0\Rightarrow f'(x)<0 — função decrescente.
    • Se -1<x<\infty e x\neq0, então x+1>0\Rightarrow f'(x)>0 — função crescente (tanto em (-1,0) quanto em (0,\infty)).
  • Em x=0 a derivada não existe, mas à esquerda e à direita de 0 o sinal de f' é positivo (tende a +\infty em ambos os lados), então a função é crescente imediatamente antes e depois de 0.
Portanto:
  • Decrescente em (-\infty,-1).
  • Crescente em (-1,0) e em (0,\infty).
Comentário didático: um ponto onde f' não existe pode ser um ponto de máximo/mínimo ou um ponto de canto/entalho/vertical tangent — para decidir precisamos estudar o sinal de f' em volta do ponto.

Passo 4

Máximos e mínimos locais:
  • Em x=-1: antes de -1 a função é decrescente e depois de -1 (até 0) é crescente. Então x=-1 é um mínimo local. Calculamos o valor:
f(-1)=(-1)^{1/3}(-1+4)=(-1)\cdot 3=-3.
Assim, há um mínimo local (e, como veremos pelo comportamento em \pm\infty, também absoluto) em (-1,-3).
  • Em x=0: a derivada não existe, mas f' é positiva tanto à esquerda quanto à direita de 0 (tende a +\infty). Logo não há extremum em x=0; o ponto x=0 é um ponto onde a tangente é vertical (declive infinito) — explicarei melhor adiante.
Observação extra: como \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty (veremos no passo de assíntotas), o mínimo em x=-1 com f(-1)=-3 é também o mínimo global.

Passo 5

Derivada segunda — aula rápida e cálculo para concavidade:
  • Usamos a expressão já fatorada de f': \;f'(x)=\dfrac{4}{3}x^{-2/3}(x+1)\;.
  • Derivando (produto/constante): seja A=\dfrac{4}{3}, B=x^{-2/3}, C=x+1. Então f''=A(B'C + B C').
    • B'(x)=(-2/3)x^{-5/3}.
    • C'(x)=1.
  • Fazendo as contas:
f''(x)=\frac{4}{3}\Bigl((-2/3)x^{-5/3}(x+1)+x^{-2/3}\Bigr).
Simplificando (fatorando x^{-5/3}) chegamos a
f''(x)=\frac{4}{9}x^{-5/3}(x-2).
Interpretação do sinal de x^{-5/3}: para x>0 é positivo; para x<0 é negativo (pois x^{5/3}=(x^{1/3})^{5} tem o mesmo sinal de x, e o inverso tem sinal igual ao de x). Assim o sinal de f'' é dado por \operatorname{sgn}(x)\cdot\operatorname{sgn}(x-2) multiplicado por uma constante positiva.
Análise de concavidade:
  • Para x<0: x negativo e x-2 negativo \Rightarrow produto positivo \Rightarrow f''(x)>0. Logo concavidade para cima em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: x positivo e x-2 negativo \Rightarrow produto negativo \Rightarrow f''(x)<0. Logo concavidade para baixo em (0,2).
  • Para x>2: x positivo e x-2 positivo \Rightarrow produto positivo \Rightarrow f''(x)>0. Logo concavidade para cima em (2,\infty).
Pontos de inflexão:
  • Onde f''(x)=0 ou muda de sinal: f''(x)=0 em x=2. Como o sinal muda de negativo para positivo em 2, x=2 é ponto de inflexão. Valor:
f(2)=2^{1/3}(2+4)=6\cdot 2^{1/3}.
  • Em x=0 temos f'' indefinida, mas o sinal de f'' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Assim x=0 também é ponto de inflexão (embora f''(0) não exista). Valor:
f(0)=0.
Comentário didático: um ponto de inflexão é onde a concavidade muda; não é necessário que f'' exista ali, apenas que a concavidade mude.

Passo 6

Assíntotas e comportamento nas extremidades:
  • Assíntotas verticais: existem quando a função tende a \pm\infty em algum ponto finito por descontinuidade vertical. Aqui f está definida para todo x, não há divisão por zero nem log de zero, etc. Portanto não há assíntotas verticais (apesar de f' e f'' serem indefinidas em 0, f(0)=0 é finito).
  • Assíntotas horizontais: observamos o comportamento para |x|\to\infty. Como f(x)=x^{4/3}+4x^{1/3}, o termo dominante é x^{4/3} que tende a +\infty quando x\to+\infty e também a +\infty quando x\to-\infty (porque produto de dois sinais negativos dá positivo, como explicado abaixo). Assim não há assíntota horizontal.
    • Mais detalhado: para x\to+\infty, x^{4/3}\to+\infty. Para x\to-\infty, escrevendo x=-t com t\to+\infty, temos x^{1/3}= -t^{1/3} e x+4\approx -t, então f(x)\approx (-t^{1/3})(-t)=t^{4/3}\to+\infty. Logo f(x)\to+\infty em ambas as extremidades, sem assíntotas horizontais.
Ponto especial em x=0:
  • Como visto, f'(x)\to+\infty quando x\to0^\pm. Isso significa que a tangente em x=0 é vertical (declive infinito). Não é assíntota vertical — a função tem um ponto finito (0,0) com tangente vertical.

Passo 7

Resumo geométrico e esboço mental do gráfico (como desenhar na prova):
  • Comportamento extremo: f(x)\to+\infty tanto quando x\to-\infty quanto quando x\to+\infty.
  • Monotonicidade:
    • Decrescente em (-\infty,-1).
    • Crescente em (-1,0) e em (0,\infty).
  • Extremos:
    • Mínimo em x=-1 com f(-1)=-3. É mínimo absoluto dado que nos infinities a função cresce muito.
    • Nenhum máximo local.
  • Pontos notáveis:
    • x=0: ponto com tangente vertical (não extremo), valor f(0)=0, mudança de concavidade (inflection).
    • x=2: ponto de inflexão com f(2)=6\cdot 2^{1/3}.
  • Concavidade:
    • Concava para cima em (-\infty,0).
    • Concava para baixo em (0,2).
    • Concava para cima em (2,\infty).
Como esboçar passo a passo:
  1. Marque os pontos importantes: (-1,-3), (0,0) e (2,6\cdot 2^{1/3}).
  2. Do lado esquerdo muito negativo a função vem de +\infty, decresce e atinge o mínimo em (-1,-3). A curva é côncava para cima nesse trecho.
  3. Depois de -1 sobe, mantendo concavidade para cima até 0, onde a inclinação cresce sem limite (tangente vertical) e passa por (0,0).
  4. Após 0 a função continua subindo, agora com concavidade para baixo até x=2 (inflection em 2), depois volta a ser côncava para cima e sobe para +\infty.
  5. Não desenhe nenhuma assíntota horizontal nem vertical; apenas a tangente vertical em x=0 como indicação que a curva fica muito íngreme ali.

Passo 8

Pequeno exemplo didático extra (como você pode aplicar em prova):
  • Se tiver uma função do tipo \;g(x)=x^{1/3}(ax+b)\;, o procedimento é o mesmo: expandir para potências fracionárias, calcular g' por regra de potência, fatorar para identificar sinais (preste atenção em pontos onde potências negativas tornam g' indefinida), e depois usar g'' para concavidade. Procure sempre fatorar as derivadas para facilitar análise de sinais.

Resposta

a) Crescente em (-1,0) e (0,\infty). Decrescente em (-\infty,-1).
b) Mínimo local (e absoluto) em x=-1 com f(-1)=-3. Não há máximo local.
c) Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0) e em (2,\infty); côncava para baixo em (0,2). Pontos de inflexão em x=0 com f(0)=0 e em x=2 com f(2)=6\cdot 2^{1/3}.
d) Não há assíntotas horizontais nem verticais. Há tangente vertical em x=0 (declive tende a +\infty).
e) Esboço: curva vindo de +\infty à esquerda, decresce e atinge mínimo em (-1,-3), sobe passando pelo ponto com tangente vertical (0,0), continua subindo com concavidade para baixo até x=2 (inflection), depois vira côncava para cima e vai a +\infty quando x\to+\infty.

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