Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
g)
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
g)
Passo 1
O que o enunciado pede: para a função
devemos achar:
a) os intervalos onde a função é crescente ou decrescente;
b) os valores de máximo e mínimo locais;
c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) as assíntotas horizontais e verticais;
e) esboçar o gráfico usando as informações anteriores.
a) os intervalos onde a função é crescente ou decrescente;
b) os valores de máximo e mínimo locais;
c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) as assíntotas horizontais e verticais;
e) esboçar o gráfico usando as informações anteriores.
Informações dadas pela função (dados explícitos do enunciado): a função é
. Note que há dois logaritmos aninhados: um
dentro de
e depois a função
externa.
Passo 2
Domínio (motivo didático): para que
esteja definida, precisamos que o argumento do log externo seja positivo, isto é
. Além disso, o log interno
exige
. Então resolvemos:
Combinando com
temos o domínio
Explicação curta:
só existe para
; e o log externo pede argumento >0, daí a desigualdade acima.
Passo 3
Derivada primeira (passo a passo e regra usada): vou usar a regra da cadeia. Seja
. Então
. A derivada de
é
. Calculamos
. Portanto
Comentário didático: a estrutura é
. Substituí
e
explicitamente.
Passo 4
Monotonicidade e máximos/mínimos locais (análise do sinal de
):
- No domínio
temos por definição do domínio, e . Logo o denominador é sempre positivo dentro do domínio. Como há um sinal negativo à frente, segue que
- Conclusão:
é estritamente decrescente em todo o domínio . Não existe intervalo onde a função é crescente.
Máximos e mínimos locais: como a derivada não se anula em nenhum ponto do domínio e a função é estritamente decrescente, não há pontos críticos internos que deem máximos ou mínimos locais. Nos endpoints o comportamento é assintótico (ver passo das assíntotas). Portanto: não há máximos ou mínimos locais finitos.
Passo 5
Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão (cálculo detalhado):
Partimos de . Para derivar de forma clara, defina
. Então
e
Partimos de
Agora calcule
com regra do produto:
Substituindo:
Análise do sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo no domínio . - O sinal de
é dado pelo numerador . - Se
então e → → concavidade para cima. - Se
então e . - Se
então e → → concavidade para baixo.
- Se
Ponto de inflexão: em
a derivada segunda muda de sinal (de positiva para negativa) e
pertence ao domínio, logo há ponto de inflexão em
. Valor da função em
:
Logo o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Assíntotas (explicação com limites):
- Comportamento quando
: . Então e . Assim a função diverge para ao aproximar-se de pela direita. Como não pertence ao domínio e o valor diverge, existe assíntota vertical em . - Comportamento quando
: . Então e . Assim a função diverge para ao aproximar-se de pela esquerda; portanto é assíntota vertical. - Assíntotas horizontais: não há porque nos dois limites laterais do domínio a função vai para
(não há aproximação para uma constante em ). Não há assíntota oblíqua porque o domínio é apenas e os comportamentos nas bordas são verticais.
Passo 7
Esboço do gráfico (descrição uso de informações):
- Domínio:
. - A função é estritamente decrescente em todo o domínio, então começa em
quando , decresce continuamente e vai a quando . - Concavidade: é côncava para cima em
e côncava para baixo em , com ponto de inflexão em . - Algumas referências numéricas úteis para marcar no esboço:
-
(ponto de inflexão). -
(um ponto negativo entre e ). -
(um ponto positivo entre e ).
-
- Assíntotas verticais: linhas
e . - Traçado mental: curve que sai de
perto de , curvando para baixo até o ponto (ainda subindo menos rápido), depois continua decrescendo mais acentuadamente até em .
Resposta
(a) Decrescente em
. Não é crescente em nenhum intervalo do domínio.
(b) Não há máximos ou mínimos locais finitos (nenhum ponto crítico interno; a função é estritamente decrescente).
(c) Concavidade: côncava para cima em ; côncava para baixo em
. Ponto de inflexão em
.
(d) Assíntotas verticais: e
. Não há assíntotas horizontais.
(e) Esboço: função definida em , parte de
em
, decresce estritamente, tem inflexão em
, e tende a
quando
; concavidade muda de cima para baixo em
.
(b) Não há máximos ou mínimos locais finitos (nenhum ponto crítico interno; a função é estritamente decrescente).
(c) Concavidade: côncava para cima em
(d) Assíntotas verticais:
(e) Esboço: função definida em