Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
g) \ln (1-\ln (x))

Passo 1

O que o enunciado pede: para a função \ln(1-\ln(x)) devemos achar:
a) os intervalos onde a função é crescente ou decrescente;
b) os valores de máximo e mínimo locais;
c) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) as assíntotas horizontais e verticais;
e) esboçar o gráfico usando as informações anteriores.
Informações dadas pela função (dados explícitos do enunciado): a função é f(x)=\ln(1-\ln(x)). Note que há dois logaritmos aninhados: um \ln(x) dentro de 1-\ln(x) e depois a função \ln(\cdot) externa.

Passo 2

Domínio (motivo didático): para que f(x)=\ln(1-\ln(x)) esteja definida, precisamos que o argumento do log externo seja positivo, isto é 1-\ln(x)>0. Além disso, o log interno \ln(x) exige x>0. Então resolvemos:
1-\ln(x)>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<e.
Combinando com x>0 temos o domínio
(0,e).
Explicação curta: \ln(x) só existe para x>0; e o log externo pede argumento >0, daí a desigualdade acima.

Passo 3

Derivada primeira (passo a passo e regra usada): vou usar a regra da cadeia. Seja u(x)=1-\ln(x). Então f(x)=\ln(u(x)). A derivada de \ln(u) é u'/u. Calculamos u'(x)= -\dfrac{1}{x}. Portanto
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\dfrac{1}{x}}{1-\ln(x)}=-\frac{1}{x(1-\ln(x))}.
Comentário didático: a estrutura é \frac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Substituí u e u' explicitamente.

Passo 4

Monotonicidade e máximos/mínimos locais (análise do sinal de f'):
  • No domínio (0,e) temos 1-\ln(x)>0 por definição do domínio, e x>0. Logo o denominador x(1-\ln(x)) é sempre positivo dentro do domínio. Como há um sinal negativo à frente, segue que
f'(x)=-\frac{1}{x(1-\ln(x))}<0\quad\text{para todo }x\in(0,e).
  • Conclusão: f é estritamente decrescente em todo o domínio (0,e). Não existe intervalo onde a função é crescente.
Máximos e mínimos locais: como a derivada não se anula em nenhum ponto do domínio e a função é estritamente decrescente, não há pontos críticos internos que deem máximos ou mínimos locais. Nos endpoints o comportamento é assintótico (ver passo das assíntotas). Portanto: não há máximos ou mínimos locais finitos.

Passo 5

Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão (cálculo detalhado):
Partimos de f'(x)=-\dfrac{1}{x(1-\ln(x))}. Para derivar de forma clara, defina v(x)=x(1-\ln(x)). Então f'(x)=-v(x)^{-1} e
f''(x)= -(-1)v(x)^{-2}v'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)^2}.
Agora calcule v'(x) com regra do produto:
v(x)=x(1-\ln(x)) \implies v'(x)=1\cdot(1-\ln(x))+x\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)=(1-\ln(x))-1=-\ln(x).
Substituindo:
f''(x)=\frac{-\ln(x)}{x^2(1-\ln(x))^2}.
Análise do sinal de f'':
  • O denominador x^2(1-\ln(x))^2 é sempre positivo no domínio (0,e).
  • O sinal de f''(x) é dado pelo numerador -\ln(x).
    • Se 0<x<1 então \ln(x)<0 e -\ln(x)>0 f''(x)>0 → concavidade para cima.
    • Se x=1 então \ln(1)=0 e f''(1)=0.
    • Se 1<x<e então \ln(x)>0 e -\ln(x)<0 f''(x)<0 → concavidade para baixo.
Ponto de inflexão: em x=1 a derivada segunda muda de sinal (de positiva para negativa) e x=1 pertence ao domínio, logo há ponto de inflexão em x=1. Valor da função em x=1:
f(1)=\ln(1-\ln(1))=\ln(1-0)=\ln(1)=0.
Logo o ponto de inflexão é (1,0).

Passo 6

Assíntotas (explicação com limites):
  • Comportamento quando x\to0^+: \ln(x)\to -\infty. Então 1-\ln(x)\to +\infty e \ln(1-\ln(x))\to +\infty. Assim a função diverge para +\infty ao aproximar-se de 0 pela direita. Como x=0 não pertence ao domínio e o valor diverge, existe assíntota vertical em x=0.
  • Comportamento quando x\to e^-: \ln(x)\to 1^-. Então 1-\ln(x)\to 0^+ e \ln(1-\ln(x))\to -\infty. Assim a função diverge para -\infty ao aproximar-se de e pela esquerda; portanto x=e é assíntota vertical.
  • Assíntotas horizontais: não há porque nos dois limites laterais do domínio a função vai para \pm\infty (não há aproximação para uma constante em \pm\infty). Não há assíntota oblíqua porque o domínio é apenas (0,e) e os comportamentos nas bordas são verticais.

Passo 7

Esboço do gráfico (descrição uso de informações):
  • Domínio: 0<x<e.
  • A função é estritamente decrescente em todo o domínio, então começa em +\infty quando x\to0^+, decresce continuamente e vai a -\infty quando x\to e^-.
  • Concavidade: é côncava para cima em (0,1) e côncava para baixo em (1,e), com ponto de inflexão em (1,0).
  • Algumas referências numéricas úteis para marcar no esboço:
    • f(1)=0 (ponto de inflexão).
    • f(e^{1/2})=\ln(1-\tfrac{1}{2})=\ln(\tfrac{1}{2})=-\ln 2 (um ponto negativo entre 1 e e).
    • f(e^{-1})=\ln(1-(-1))=\ln 2 (um ponto positivo entre 0 e 1).
  • Assíntotas verticais: linhas x=0 e x=e.
  • Traçado mental: curve que sai de +\infty perto de 0, curvando para baixo até o ponto (1,0) (ainda subindo menos rápido), depois continua decrescendo mais acentuadamente até -\infty em x=e.

Resposta

(a) Decrescente em (0,e). Não é crescente em nenhum intervalo do domínio.
(b) Não há máximos ou mínimos locais finitos (nenhum ponto crítico interno; a função é estritamente decrescente).
(c) Concavidade: côncava para cima em (0,1); côncava para baixo em (1,e). Ponto de inflexão em (1,0).
(d) Assíntotas verticais: x=0 e x=e. Não há assíntotas horizontais.
(e) Esboço: função definida em (0,e), parte de +\infty em x\to0^+, decresce estritamente, tem inflexão em (1,0), e tende a -\infty quando x\to e^-; concavidade muda de cima para baixo em x=1.

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