Determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de $ \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} $ quando $ x $ cresce sem parar, ou seja, quando $ x $ vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de limites. Vamos passo a passo entender como simplificar essa expressão e encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a diferença das raízes cúbicas. Sabemos que $ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} $ pode ser reescrito usando a identidade algébrica:
Nesse caso, $ a = x + 1 $ e $ b = x $. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo no denominador quando $ x $ tende a infinito. Observe que:
Como $ x $ está indo para infinito, os termos $ 2x $ e $ 1 $ se tornam irrelevantes comparados a $ x^2 $, então cada termo do denominador se aproxima de $ x^{2/3} $.
Passo 4
Somando os três termos do denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de $ \frac{1}{3x^{2/3}} $ quando $ x $ vai para mais infinito. Sabemos que $ x^{2/3} $ cresce sem parar conforme $ x $ aumenta, então $ \frac{1}{3x^{2/3}} $ vai se aproximar de zero.
Resposta
O limite é igual a 0.