Determine o limite:
lim x +infty(raiz[3]x+1-raiz[3]x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de $ \sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} $ quando $ x $ cresce sem parar, ou seja, quando $ x $ vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de limites. Vamos passo a passo entender como simplificar essa expressão e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a diferença das raízes cúbicas. Sabemos que $ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} $ pode ser reescrito usando a identidade algébrica:
raiz[3]a - raiz[3]b
Nesse caso, $ a = x + 1 $ e $ b = x $. Então, substituindo na fórmula, temos:
raiz[3]a - raiz[3]b = a - braiz[3]a^2 + raiz[3]ab + raiz[3]b^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo no denominador quando $ x $ tende a infinito. Observe que:
x
raiz[3](x+1)^2 = raiz[3]x^2 + 2x + 1 approx raiz[3]x^2 = x^2/3
raiz[3]x(x+1) = raiz[3]x^2 + x approx raiz[3]x^2 = x^2/3
Como $ x $ está indo para infinito, os termos $ 2x $ e $ 1 $ se tornam irrelevantes comparados a $ x^2 $, então cada termo do denominador se aproxima de $ x^{2/3} $.

Passo 4

Somando os três termos do denominador:
raiz[3](x+1)^2 + raiz[3]x(x+1) + raiz[3]x^2 approx x^2/3 + x^2/3 + x^2/3 = 3x^2/3
Então, a expressão simplificada fica:
13x^2/3

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de $ \frac{1}{3x^{2/3}} $ quando $ x $ vai para mais infinito. Sabemos que $ x^{2/3} $ cresce sem parar conforme $ x $ aumenta, então $ \frac{1}{3x^{2/3}} $ vai se aproximar de zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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