Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
a)
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
a)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, os seguintes itens:
a) intervalos de crescimento e decrescimento;
b) valores de máximos e mínimos locais;
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
a) intervalos de crescimento e decrescimento;
b) valores de máximos e mínimos locais;
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações dadas e relevantes: a função é
definida para todo
(é uma função polinomial composta). Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Domínio e observações iniciais (coisas simples que ajudam no restante).
- Domínio: todo
, pois está definido para qualquer . - Paridade: como depende de
, a função é par, isto é, . Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Valores em pontos notáveis (que vamos usar depois):
Passo 3
Derivada primeira: vamos calcular
passo a passo e explicar a regra usada. A função é uma composição: primeiro
e depois
com
. Pela regra da cadeia,
. Calculando:
Portanto,
Comentário didático:
é sempre
e anula-se apenas em
. O fator
determina o sinal de
quando
.
Passo 4
Pontos críticos e teste de monotonicidade (usando
).
- Zeros de
: resolver dá e . Esses são os candidatos a extremos ou pontos singulares. - Para determinar onde a função cresce/decresce, analisamos o sinal de
. Note que para . Logo, para , Assim: - Se
, então (decrescente). - Se
, então (crescente).
- Se
- Em
, mas o fator ao quadrado faz com que o sinal de não troque ao atravessar : o sinal de depende apenas de (negativo à esquerda de e positivo à direita de ), então em não há troca de sinal (são pontos onde a derivada se anula mas não há mudança de monotonicidade).
Conclusão (resposta do item a):
- Crescente em
. - Decrescente em
.
Observação: os pontossão pontos estacionários onde mas não trocam monotonicidade.
Passo 5
Classificação de extremos (item b) usando o teste da primeira derivada e valores:
- Em
: a função passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita). Pelo teste da primeira derivada, é um mínimo local. Como , esse mínimo é global. Valor: - Em
: a derivada se anula, mas não há troca de sinal de (a função é decrescente antes de e crescente depois de ); especificamente, em torno de (ou ) o signo de permanece negativo para e positivo para . Portanto não são máximos nem mínimos locais: são pontos estacionários de inflexão (veremos concavidade). Valores:
Resumo do item b:
- Mínimo local (e global) em
com valor . - Não há máximos locais.
Passo 6
Derivada segunda: vamos calcular
com produto/regra da cadeia e explicar. Partimos de
Usamos a regra do produto: se
e
, então
Calculamos:
Substituindo,
Agrupando fatores
:
Comentário: fatoramos para facilitar o estudo do sinal.
Passo 7
Pontos onde
e análise de concavidade (item c).
- Zeros de
ocorrem quando ou , isto é: - Determinamos o sinal de
por intervalos em termos de : - Para
: tem-se , logo , e . Produto de dois negativos é positivo, então (concavidade para cima). - Para
: tem e , produto negativo, então (concavidade para baixo). - Para
: ambos fatores positivos, então (concavidade para cima).
- Para
- Assim os intervalos de concavidade são:
- Concava para cima em
. - Concava para baixo em
.
- Concava para cima em
Pontos de inflexão (onde a concavidade muda):
e
. Calculamos os valores da função nesses pontos:
- Para
: . - Para
: como ,
Passo 8
Verificação rápida da classificação em
(motivação extra):
Em , temos
e
, mas observamos mudança de concavidade ao atravessá-los (passa de concava para cima para concava para baixo ou vice-versa), portanto são pontos de inflexão com tangente horizontal — por isso não são extremos. É comum surgir esse caso quando o fator que anulou a derivada primeira tem multiplicidade maior que 1.
Em
Passo 9
Assíntotas (item d).
- A função é um polinômio de grau
(expansão de ), então não há assíntotas verticais (polinômios são definidos em todo ). - Para assíntotas horizontais, verificamos limites em
. Como o termo dominante é com coeficiente positivo, temos Logo não existem assíntotas horizontais finitas. (Também não há assíntotas oblíquas no sentido usual para polinômios de grau maior que 1 que tendem a infinito de forma polinomial.)
Passo 10
Esboço do gráfico (item e): descrição detalhada para que você consiga desenhar no rascunho da prova. Use a simetria par para desenhar só o lado direito e espelhar.
Pontos importantes (ordem do eixo
crescente, com valores já calculados):
- Quando
, . - Em
: ponto de inflexão, , tangente horizontal. - Em
: ponto de inflexão, . - Em
: mínimo global, . - Em
: ponto de inflexão, . - Em
: ponto de inflexão, . - Quando
, .
Comportamento entre esses pontos (resumindo monotonicidade e concavidade já obtidas):
- No intervalo
: a função é decrescente e concava para cima; vem de e desce até . - Em
: tangente horizontal e inflexão; continua decrescendo após, mas troca concavidade. - Em
: decrescente e concava para baixo, chega em . - Em
: decrescente e concava para cima, atinge o mínimo em . - Pela paridade, o mesmo quadro simétrico ocorre à direita de
, com a função crescendo para para .
Instrução prática para desenhar:
- Marque os pontos
, , , , . - Ligue-os lembrando da concavidade em cada trecho: concavo para cima antes de
, muda para baixo entre e , volta para cima até ; espelhe no lado positivo. - As extremidades sobem rapidamente para
(comportamento ).
Resposta
a) Crescente em
.
Decrescente em .
Decrescente em
b) Mínimo local (e global) em
com valor
.
Não há máximos locais.
Não há máximos locais.
c) Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão em com
e em
com
.
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão em
d) Não há assíntotas verticais nem horizontais (função polinomial,
).
e) Esboço: função par,
(inflectivos com tangente horizontal), mínimo global em
, inflexões também em
. Vem de
em
, decresce até
e cresce para
em
; concavidades alternam conforme item (c).