Para as próximas funções:
a) Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
b) Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
e) Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
a) \left(x^{2}-1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede, para a função \left(x^{2}-1\right)^{3}, os seguintes itens:
a) intervalos de crescimento e decrescimento;
b) valores de máximos e mínimos locais;
c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas horizontais e verticais;
e) um esboço do gráfico usando as informações anteriores.
Informações dadas e relevantes: a função é
f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{3},
definida para todo x\in\mathbb{R} (é uma função polinomial composta). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Domínio e observações iniciais (coisas simples que ajudam no restante).
  • Domínio: todo \mathbb{R}, pois \left(x^{2}-1\right)^{3} está definido para qualquer x.
  • Paridade: como depende de x^{2}, a função é par, isto é, f(-x)=f(x). Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Valores em pontos notáveis (que vamos usar depois): f(0)=\left(0^{2}-1\right)^{3}=(-1)^{3}=-1,
f(1)=f(-1)=\left(1^{2}-1\right)^{3}=0.

Passo 3

Derivada primeira: vamos calcular f'(x) passo a passo e explicar a regra usada. A função é uma composição: primeiro g(x)=x^{2}-1 e depois h(u)=u^{3} com u=g(x). Pela regra da cadeia, f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x). Calculando:
g'(x)=2x,\qquad h'(u)=3u^{2}.
Portanto,
f'(x)=3\big(x^{2}-1\big)^{2}\cdot 2x=6x\big(x^{2}-1\big)^{2}.
Comentário didático: \big(x^{2}-1\big)^{2} é sempre \ge 0 e anula-se apenas em \,x=\pm 1. O fator 6x determina o sinal de f' quando x\neq\pm1.

Passo 4

Pontos críticos e teste de monotonicidade (usando f').
  • Zeros de f': resolver 6x(x^{2}-1)^{2}=0 x=0 e x=\pm 1. Esses são os candidatos a extremos ou pontos singulares.
  • Para determinar onde a função cresce/decresce, analisamos o sinal de f'(x). Note que \big(x^{2}-1\big)^{2}>0 para x\neq\pm1. Logo, para x\neq\pm1, \operatorname{sgn}\big(f'(x)\big)=\operatorname{sgn}(6x)=\operatorname{sgn}(x).Assim:
    • Se x<0, então f'(x)<0 (decrescente).
    • Se x>0, então f'(x)>0 (crescente).
  • Em x=\pm1, f'(x)=0 mas o fator ao quadrado faz com que o sinal de f' não troque ao atravessar \pm1: o sinal de f' depende apenas de x (negativo à esquerda de 0 e positivo à direita de 0), então em x=\pm1 não há troca de sinal (são pontos onde a derivada se anula mas não há mudança de monotonicidade).
Conclusão (resposta do item a):
  • Crescente em \,(0,\infty).
  • Decrescente em (-\infty,0).
    Observação: os pontos x=\pm1 são pontos estacionários onde f'=0 mas não trocam monotonicidade.

Passo 5

Classificação de extremos (item b) usando o teste da primeira derivada e valores:
  • Em x=0: a função passa de decrescente (à esquerda) para crescente (à direita). Pelo teste da primeira derivada, x=0 é um mínimo local. Como \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty, esse mínimo é global. Valor: f(0)=-1.
  • Em x=\pm1: a derivada se anula, mas não há troca de sinal de f' (a função é decrescente antes de 0 e crescente depois de 0); especificamente, em torno de x=1 (ou -1) o signo de f' permanece negativo para x<0 e positivo para x>0. Portanto x=\pm1 não são máximos nem mínimos locais: são pontos estacionários de inflexão (veremos concavidade). Valores: f(\pm1)=0.
Resumo do item b:
  • Mínimo local (e global) em x=0 com valor f(0)=-1.
  • Não há máximos locais.

Passo 6

Derivada segunda: vamos calcular f''(x) com produto/regra da cadeia e explicar. Partimos de
f'(x)=6x\big(x^{2}-1\big)^{2}.
Usamos a regra do produto: se u(x)=6x e v(x)=(x^{2}-1)^{2}, então
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calculamos:
u'(x)=6,\qquad v'(x)=2(x^{2}-1)\cdot 2x=4x(x^{2}-1).
Substituindo,
f''(x)=6\big(x^{2}-1\big)^{2}+6x\cdot 4x\big(x^{2}-1\big).
Agrupando fatores \big(x^{2}-1\big):
f''(x)=6\big(x^{2}-1\big)\left[\big(x^{2}-1\big)+4x^{2}\right] =6\big(x^{2}-1\big)\big(5x^{2}-1\big).
Comentário: fatoramos para facilitar o estudo do sinal.

Passo 7

Pontos onde f''(x)=0 e análise de concavidade (item c).
  • Zeros de f'' ocorrem quando \big(x^{2}-1\big)=0 ou \big(5x^{2}-1\big)=0, isto é: x=\pm 1\qquad\text{e}\qquad x=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}.
  • Determinamos o sinal de f'' por intervalos em termos de |x|:
    • Para |x|<\tfrac{1}{\sqrt{5}}: tem-se x^{2}<\tfrac{1}{5}, logo 5x^{2}-1<0, e x^{2}-1<0. Produto de dois negativos é positivo, então f''(x)>0 (concavidade para cima).
    • Para \tfrac{1}{\sqrt{5}}<|x|<1: tem x^{2}-1<0 e 5x^{2}-1>0, produto negativo, então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
    • Para |x|>1: ambos fatores positivos, então f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Assim os intervalos de concavidade são:
    • Concava para cima em \left(-\infty,-1\right)\cup\left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\cup\left(1,\infty\right).
    • Concava para baixo em \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\cup\left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right).
Pontos de inflexão (onde a concavidade muda): \displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{5}} e x=\pm 1. Calculamos os valores da função nesses pontos:
  • Para x=\pm1: f(\pm1)=0.
  • Para x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}: como x^{2}=\dfrac{1}{5}, f\!\left(\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{1}{5}-1\right)^{3}=\left(-\frac{4}{5}\right)^{3}=-\frac{64}{125}.

Passo 8

Verificação rápida da classificação em x=\pm1 (motivação extra):
Em x=\pm1, temos f'(x)=0 e f''(x)=0, mas observamos mudança de concavidade ao atravessá-los (passa de concava para cima para concava para baixo ou vice-versa), portanto são pontos de inflexão com tangente horizontal — por isso não são extremos. É comum surgir esse caso quando o fator que anulou a derivada primeira tem multiplicidade maior que 1.

Passo 9

Assíntotas (item d).
  • A função é um polinômio de grau 6 (expansão de (x^{2}-1)^{3}), então não há assíntotas verticais (polinômios são definidos em todo \mathbb{R}).
  • Para assíntotas horizontais, verificamos limites em \pm\infty. Como o termo dominante é x^{6} com coeficiente positivo, temos \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.Logo não existem assíntotas horizontais finitas. (Também não há assíntotas oblíquas no sentido usual para polinômios de grau maior que 1 que tendem a infinito de forma polinomial.)

Passo 10

Esboço do gráfico (item e): descrição detalhada para que você consiga desenhar no rascunho da prova. Use a simetria par para desenhar só o lado direito e espelhar.
Pontos importantes (ordem do eixo x crescente, com valores já calculados):
  • Quando x\to-\infty, f(x)\to+\infty.
  • Em x=-1: ponto de inflexão, f(-1)=0, tangente horizontal.
  • Em x=-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\approx-0,447: ponto de inflexão, f=-\dfrac{64}{125}\approx-0{,}512.
  • Em x=0: mínimo global, f(0)=-1.
  • Em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}}\approx0,447: ponto de inflexão, f=-\dfrac{64}{125}.
  • Em x=1: ponto de inflexão, f(1)=0.
  • Quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
Comportamento entre esses pontos (resumindo monotonicidade e concavidade já obtidas):
  • No intervalo (-\infty,-1): a função é decrescente e concava para cima; vem de +\infty e desce até ( -1,0).
  • Em x=-1: tangente horizontal e inflexão; continua decrescendo após, mas troca concavidade.
  • Em (-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}): decrescente e concava para baixo, chega em \big(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},-\tfrac{64}{125}\big).
  • Em (-\tfrac{1}{\sqrt{5}},0): decrescente e concava para cima, atinge o mínimo em (0,-1).
  • Pela paridade, o mesmo quadro simétrico ocorre à direita de 0, com a função crescendo para +\infty para x>0.
Instrução prática para desenhar:
  1. Marque os pontos (-1,0), \big(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},-\tfrac{64}{125}\big), (0,-1), \big(\tfrac{1}{\sqrt{5}},-\tfrac{64}{125}\big), (1,0).
  2. Ligue-os lembrando da concavidade em cada trecho: concavo para cima antes de -1, muda para baixo entre -1 e -\tfrac{1}{\sqrt{5}}, volta para cima até 0; espelhe no lado positivo.
  3. As extremidades sobem rapidamente para +\infty (comportamento x^{6}).

Resposta

a) Crescente em \,(0,\infty).
Decrescente em (-\infty,0).
b) Mínimo local (e global) em x=0 com valor f(0)=-1.
Não há máximos locais.
c) Concavidade para cima em \left(-\infty,-1\right)\cup\left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\cup\left(1,\infty\right).
Concavidade para baixo em \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\cup\left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right).
Pontos de inflexão em x=\pm 1 com f(\pm1)=0 e em x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}} com f\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\dfrac{64}{125}.
d) Não há assíntotas verticais nem horizontais (função polinomial, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty).
e) Esboço: função par, f(\pm1)=0 (inflectivos com tangente horizontal), mínimo global em (0,-1), inflexões também em \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}. Vem de +\infty em -\infty, decresce até (0,-1) e cresce para +\infty em +\infty; concavidades alternam conforme item (c).

Exercícios relacionados