Para as próximas funções: Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
m) 11-cos (x)-2 pi

Passo 1

A questão pede pra achar onde a função
f(x)=11-cos(x)
é crescente ou decrescente no intervalo -2pi. O tema é monotonia de funções usando derivada e precisamos também cuidar dos pontos em que a função não está definida.

Passo 2

Primeiro vamos ver o domínio: o denominador 1-cos(x) só zera quando cos(x)=1, isto é, em x=2kpi. No nosso intervalo aberto -2pi,2pi só aparece x=0. Então o domínio se quebra em duas partes: (-2pi,0) e (0,2pi).

Passo 3

Para decidir monotonia, calculamos a derivada. Escrevendo f(x)=(1-cos(x))^-1, temos
f'(x)=-(1-cos(x))'(1-cos(x))^2=-sin(x)(1-cos(x))^2
O denominador é sempre positivo (fora dos zeros), então o sinal de f'(x) é o oposto do sinal de sin(x).

Passo 4

Agora analisamos sin(x) em cada subintervalo do domínio:
  • Em (-2pi,-pi), um ponto-teste é x=-3pi/2, onde sin(-3pi/2)=+1>0, logo f'(x)<0 e a função é decrescente.
  • Em (-pi,0), um ponto-teste é x=-pi/2, onde sin(-pi/2)=-1<0, logo f'(x)>0 e a função é crescente.
  • Em (0,pi), um ponto-teste é x=pi/2, onde sin(pi/2)=+1>0, logo f'(x)<0 e a função é decrescente.
  • Em (pi,2pi), um ponto-teste é x=3pi/2, onde sin(3pi/2)=-1<0, logo f'(x)>0 e a função é crescente.

Passo 5

Concluímos então os intervalos de crescimento e decrescimento, lembrando que em x=0 há uma descontinuidade (assimptota vertical).

Resposta

A função é crescente em (-pi,0) e em (pi,2pi), e é decrescente em (-2pi,-pi) e em (0,pi).

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