Nos próximos exercícios ache a equação da reta e desenhe uma figura de cada.
Duas retas por (-2,3), uma paralela e outra perpendicular a 3 x+2 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede as equações de duas retas que passam pelo ponto (-2,3): uma paralela e outra perpendicular à reta dada
3x + 2y + 5 = 0
Aqui vamos usar os seguintes conceitos da geometria analítica:
  • Como extrair o coeficiente angular (inclinação) de uma reta em forma geral Ax+By+C=0.
  • Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular.
  • Retas perpendiculares têm coeficientes angulares negativos e recíprocos.

Passo 2

Para achar o coeficiente angular m da reta dada, isolamos y:
3x + 2y + 5 = 0 Longrightarrow 2y = -3x - 5 Longrightarrow y = -tfrac32,x - tfrac52
Logo o coeficiente angular é
m = -tfrac32

Passo 3

A partir de m = -tfrac32:
  • A reta paralela terá mparal<=l = -tfrac32.
  • A reta perpendicular terá
mperp = -1m = -1-tfrac32 = tfrac23

Passo 4

Formamos a equação da reta paralela em forma ponto-ângulo, usando ponto (-2,3):
y - 3 = -tfrac32,(x + 2)
Para a forma geral, multiplicamos por 2:
2(y - 3) = -3(x + 2) Longrightarrow 2y - 6 = -3x - 6 Longrightarrow 3x + 2y = 0

Passo 5

Agora a reta perpendicular, mesma ideia:
y - 3 = tfrac23,(x + 2)
Multiplicamos por 3:
3(y - 3) = 2(x + 2) Longrightarrow 3y - 9 = 2x + 4 Longrightarrow 2x - 3y + 13 = 0

Passo 6

Esboço das retas num plano cartesiano (cada figura separada):
Reta paralela :
   y
   |
  \(5\)|       *
  \(4\)|     *
  \(3\)|   *   \text{\textleftarrow\ ponto }\left(-\left(2,3\right)\right)
  \(2\)| *
  \(1\)|*
   \(+\)---------------- x
    -\(4\) -\(3\) -\(2\) -\(10\)\(12\)
Reta perpendicular :
   y
   |
  \(6\)|     *
  \(5\)|   *
  \(4\)| *   \text{\textleftarrow\ ponto }\left(-\left(2,3\right)\right)
  \(3\)|
  \(2\)|
   \(+\)---------------- x
    -\(4\) -\(3\) -\(2\) -\(10\)\(12\)

Resposta

Reta paralela:
3x + 2y = 0
Reta perpendicular:
2x - 3y + 13 = 0

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