Seja V=R^4, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e os subespaços vetoriais de V abaixo:
& G=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y-z=0 ; x-2 y+w=0 ; & W=(x, 2 x,-x, 3 x) in R^4 mid x in R
Obter explicitamente o subespaço Soma S de G e W, S=G+W, uma base para S e sua dimensão ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço soma
S = G + W = ,g + w mid gin G,;win W
no espaço V=R^4, além de uma base de S e sua dimensão.
Aqui o conteúdo é soma de subespaços e parametrização de um espaço definido por equações lineares.

Passo 2

Primeiro parametrizamos
Da primeira vem é
onde escolhemos parâmetros e . Assim
e .

Passo 3

Agora vemos
Isso dá o sistema
que é consistente (de fato ). Logo , ou seja .
Daí
e, portanto, uma base de é a mesma base de , com .

Resposta

Uma descrição conveniente de é
e

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