Seja V=R^4, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e os subespaços vetoriais de V abaixo:
& G=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y-z=0 ; x-2 y+w=0 ; & W=(x, 2 x,-x, 3 x) in R^4 mid x in R
Obter explicitamente o subespaço Interseção I de G e W, I=G cap W, uma base para I e sua dimensão (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
G=(x,y,z,w)mid x-y-z=0,;x-2y+w=0 e
W=(x,2x,-x,3x)mid xinR.
O que precisamos é achar
I ;=; Gcap W,
ou seja, todos os vetores de W que também satisfazem as equações lineares que definem G.

Passo 2

Parametrizamos um vetor genérico de W por
v(x) = (x,,2x,,-x,,3x)
Para ver se v(x) está em G, basta colocar essas coordenadas nas duas condições de G.

Passo 3

Verificamos as duas equações de G:
  1. x - y - z = x - 2x -(-x) = x -2x + x = 0.
  2. x - 2y + w = x - 2,(2x) + 3x = x -4x +3x = 0.
Como em ambos os casos o resultado é identicamente zero para todo x, concluímos que todo vetor de W também pertence a G.

Passo 4

Logo,
I = Gcap W = W = (x,2x,-x,3x)mid xinR
Um gerador natural (base) de I é o vetor que aparece quando x=1:
(1,2,-1,3)

Resposta

O subespaço I é
I = (x,2x,-x,3x)mid xinR
Uma base de I é (1,2,-1,3) e dim(I)=1.

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