Questão 1: Calcule a temperatura de equilibrio associada ao problema
Passo 1
O enunciado é o problema da equação do calor em 0<x<1 com condições de contorno de Neumann homogêneas (ux(0,t)=ux(1,t)=0) e condição inicial u(x,0)=1+x^5. Queremos achar a temperatura de equilíbrio, isto é, a solução estacionária ue(x) quando ttoinfty.
Passo 2
Na situação de equilíbrio temos ut=0, logo
ue''(x)=0,
com as condições
ue'(0)=0, ue'(1)=0
Integrando ue''(x)=0 obtemos ue(x)=Ax+B. As condições de Neumann dão A=0, de modo que
ue(x)=C,
ou seja, a solução estacionária é constante em x.
Passo 3
Como as extremidades estão isoladas, a massa total integral0^1u(x,t),dx permanece igual à massa inicial. Portanto o valor constante C é a média espacial de u(x,0):