(
) Calcular a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[3]{1 + 2x + x^{3}} $ usando a regra da cadeia. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas e a aplicação da regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ g(h(x)) $ é $ g’(h(x)) \cdot h’(x) $.
Passo 4
Identificando as partes da função:
- A função externa $ g(u) = u^{\frac{1}{3}} $
- A função interna $ h(x) = 1 + 2x + x^{3} $
Passo 5
Vamos derivar a função externa em relação a $ u $:
Passo 6
Agora, vamos derivar a função interna em relação a $ x $:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \sqrt[3]{1 + 2x + x^{3}} $ é: