( 1,5 pts ) Calcular a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia:
f(x)=raiz[3]1+2 x+x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \sqrt[3]{1 + 2x + x^{3}} $ usando a regra da cadeia. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas e a aplicação da regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência fracionária:
f(x) = (1 + 2x + x^3)^13

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ g(h(x)) $ é $ g’(h(x)) \cdot h’(x) $.

Passo 4

Identificando as partes da função:
  • A função externa $ g(u) = u^{\frac{1}{3}} $
  • A função interna $ h(x) = 1 + 2x + x^{3} $

Passo 5

Vamos derivar a função externa em relação a $ u $:
u

Passo 6

Agora, vamos derivar a função interna em relação a $ x $:
x

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = g'(h(x)) cdot h'(x) = 13(1 + 2x + x^3)^-23 cdot (2 + 3x^2)

Resposta

A derivada de $ f(x) = \sqrt[3]{1 + 2x + x^{3}} $ é:
f(x) = raiz[3]1 + 2x + x^3

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