(2,0 pt) Calcular o limite e analisar a continuidade da função vetorial dada, no ponto indicado:
em
Passo 1
Beleza, o enunciado e o que vamos fazer: a função vetorial (na verdade escalar) é definida por
O que a questão pede é calcular
e, em seguida, verificar se a função é contínua em
. Para isso, vamos usar um limite notável e depois comparar com
.
Passo 2
Cálculo do limite
:
Para valores de próximos de zero (mas diferentes de zero) vale a desigualdade do teorema do aperto:
Para valores de
e isso vale para
. Sabemos que
e
Pelo teorema do aperto, concluímos
Passo 3
Verificação de continuidade em
:
A definição de continuidade em um ponto exige que o valor da função no ponto seja igual ao limite quando se aproxima dele. Aqui temos:
A definição de continuidade em um ponto exige que o valor da função no ponto seja igual ao limite quando
- Valor atribuído pela definição:
. - Limite que acabamos de calcular:
.
Como esses dois são iguais, a função é contínua em.