(2,0 pt) Calcular o limite e analisar a continuidade da função vetorial dada, no ponto indicado:
f(x)=ll sent t, & se t neq 0 1, & se t=0
em t=0

Passo 1

Beleza, o enunciado e o que vamos fazer: a função vetorial (na verdade escalar) é definida por
f(t)= sin tt, & tneq 0, 1, & t=0
O que a questão pede é calcular limtto0f(t) e, em seguida, verificar se a função é contínua em t=0. Para isso, vamos usar um limite notável e depois comparar com f(0).

Passo 2

Cálculo do limite limtto0sin tt:
Para valores de t próximos de zero (mas diferentes de zero) vale a desigualdade do teorema do aperto:
cos t ;<=; sin tt ;<=; 1,
e isso vale para 0<|t|. Sabemos que
limtto0cos t = 1
e
limtto01 = 1
Pelo teorema do aperto, concluímos
limtto0sin tt = 1

Passo 3

Verificação de continuidade em t=0:
A definição de continuidade em um ponto exige que o valor da função no ponto seja igual ao limite quando t se aproxima dele. Aqui temos:
  • Valor atribuído pela definição: f(0)=1.
  • Limite que acabamos de calcular: limtto0f(t)=1.
    Como esses dois são iguais, a função é contínua em t=0.

Resposta

limtto0f(t)=1 e a função é contínua em t=0.

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