(2 pt)Calcule a integral dupla
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla:
Onde a região
é definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e depois calcular as integrais passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos
variando de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
. Isso significa que, para cada
, vamos integrar em
de
a
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites de integração:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Aqui, usamos integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula
:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda integral:
Aqui, fazemos uma substituição:
- Seja
⇒ ⇒
Então, a integral fica:
Resposta
A integral dupla vale:
Ou seja,