(2 pt)Calcule a integral dupla
integralR integral x e^y d x d y, onde R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla:
integralR integral x e^y , dx , dy
Onde a região R é definida por 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= x . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e depois calcular as integrais passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R . Temos x variando de 0 a 1. Para cada valor de x , y varia de x^2 até x . Isso significa que, para cada x , vamos integrar em y de x^2 a x .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites de integração:
integralx=0^1 integraly=x^2^x x e^y , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna, que é em relação a y :
integraly=x^2^x x e^y , dy
Como x é constante em relação a y , podemos tirar x para fora da integral:
x integraly=x^2^x e^y , dy
A integral de e^y em relação a y é e^y , então:
x [ e^y ]y=x^2^x = x ( e^x - e^x^2 )

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integralx=0^1 x ( e^x - e^x^2 ) , dx
Isso pode ser separado em duas integrais:
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral x e^x , dx
Aqui, usamos integração por partes, onde:
  • u = x du = dx
  • dv = e^x dx v = e^x
Aplicando a fórmula integral u , dv = uv - integral v , du :
x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
(1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral:
integral0^1 x e^x^2 , dx
Aqui, fazemos uma substituição:
  • Seja u = x^2 du = 2x , dx du2 = x , dx
Então, a integral fica:
12 integralu=0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale:
1 - 12(e - 1) = 32 - e2
Ou seja,
3 - e2

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