(1 pt) Considere os vetores v1=(-1,2,3), v2=(2,-1,1), v3=(4,1,9).
(a) Escreva, se possível, o vetor w=(1,1,4) como combinação linear de v1, v2 e v3.
(b) Determine condições sobre a, b, c de modo que v=(a, b, c) seja combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
(c) Determine condições que os números reais a, b, c devem satisfazer para que o sistema linear (2), nas variáveis x, y e z, seja possível.
r -alpha1+2 alpha2+4 alpha3=a 2 alpha1-alpha2+alpha3=b 3 alpha1+alpha2+9 alpha3=c
(d) Podemos dizer que os itens (b) e (c) estão relacionados? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores vec v1=(-1,2,3), vec v2=(2,-1,1), vec v3=(4,1,9) e pede:
(a) escrever vec w=(1,1,4) como combinação linear de vec v1,vec v2,vec v3;
(b) achar condições sobre (a,b,c) para que vec v=(a,b,c) seja combinação linear desses vetores;
(c) determinar condições para que o sistema
-alpha1+2alpha2+4alpha3=a, 2alpha1-alpha2+alpha3=b, 3alpha1+alpha2+9alpha3=c
seja possível;
(d) relacionar (b) e (c).
O conteúdo usado envolve sistemas lineares, dependência linear e a condição de consistência (teorema de Rouché–Capelli).

Passo 2

Para (a) montamos o sistema
-alpha1+2alpha2+4alpha3=1, 2alpha1-alpha2+alpha3=1, 3alpha1+alpha2+9alpha3=4
Da primeira equação vem
alpha1=2alpha2+4alpha3-1.
Substituindo na segunda:
2(2alpha2+4alpha3-1)-alpha2+alpha3=1 ;Longrightarrow; alpha2+3alpha3=1
Chamando alpha3=t obtemos alpha2=1-3t e então alpha1=1-2t.

Passo 3

A solução geral é
alpha1=1-2t, alpha2=1-3t, alpha3=t, tin R
Por exemplo, tomando t=0 fica alpha1=1, alpha2=1, alpha3=0, isto é
vec w=1cdotvec v1+1cdotvec v2+0cdotvec v3

Passo 4

Para (b) repetimos a eliminação para o vetor genérico vec v=(a,b,c). O mesmo cálculo leva à condição de consistência
3c=5a+7b,
ou seja vec v é combinação linear de vec v1,vec v2,vec v3 se e somente se
5a+7b-3c=0

Passo 5

Em (c) o sistema dado é exatamente aquele que estamos resolvendo para achar coeficientes de combinação linear. Pelo teorema de Rouché–Capelli ele é possível se e somente se
5a+7b-3c=0

Passo 6

No item (d) observamos que (b) e (c) envolvem a mesma condição 5a+7b-3c=0. Isso ocorre porque expressar vec v como combinação linear é resolver o sistema de (c), logo as condições de existência de solução coincidem.

Resposta

(a) alpha1=1-2t, alpha2=1-3t, alpha3=t para todo tin R. Em particular, com t=0, alpha1=1, alpha2=1, alpha3=0.
(b) 5a+7b-3c=0.
(c) 5a+7b-3c=0.
(d) Sim, porque o sistema de (c) é exatamente o modelo algébrico de escrever vec v como combinação linear em (b), de modo que as condições de existência de solução são idênticas.

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