(1,5 pt) Se A^2=A, onde A é uma matriz quadrada de ordem n, mostre que os autovalores possíveis de A são 0 ou 1 .

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n tal que
A^2 = A
O conteúdo aqui é o estudo de autovalores de matrizes idempotentes (isto é, que satisfazem A^2=A). Vamos usar a definição de autovalor e autovetor para mostrar que qualquer autovalor lambda de A deve ser 0 ou 1.

Passo 2

Suponha que lambda seja um autovalor de A com autovetor não-nulo v. Por definição,
A v = lambda,v,
com v neq 0.

Passo 3

Aplicamos A^2=A ao vetor v. Primeiro calculamos A^2v via o autovalor:
A^2v = Al(A vr) = Al(lambda,vr) = lambda,A v = lambdal(lambda,vr) = lambda^2v

Passo 4

Por outro lado, como A^2=A, temos também
A^2v = A v = lambda,v
Igualando as duas expressões para A^2v, obtém-se
lambda^2v = lambda,v Longrightarrow (lambda^2-lambda),v = 0 Longrightarrow lambda(lambda-1),v = 0
Como vneq 0, isso força lambda(lambda-1)=0, ou seja,
lambda=0 ou lambda=1

Resposta

Os únicos autovalores possíveis de A são 0 e 1.

Exercícios relacionados