(1,5 pt) Se
, onde
é uma matriz quadrada de ordem
, mostre que os autovalores possíveis de
são 0 ou 1 .
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
tal que
O conteúdo aqui é o estudo de autovalores de matrizes idempotentes (isto é, que satisfazem
). Vamos usar a definição de autovalor e autovetor para mostrar que qualquer autovalor
de
deve ser
ou
.
Passo 2
Suponha que
seja um autovalor de
com autovetor não-nulo
. Por definição,
com
.
Passo 3
Aplicamos
ao vetor
. Primeiro calculamos
via o autovalor:
Passo 4
Por outro lado, como
, temos também
Igualando as duas expressões para
, obtém-se
Como
, isso força
, ou seja,
Resposta
Os únicos autovalores possíveis de
são
e
.