(1 pt) Considere os pontos A(2,0,0), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(5,2,2).
(a) Determine os vetores u=A B, v=A C e w=A D.
(b) É possível encontrar escalares alpha1, alpha2 e alpha3, não todos nulos, tais que alpha1 u+alpha2 v+alpha3 w=0 ? Justifique sua resposta!
(c) Escreva v como combinação linear de u e w.
(d) O triângulo A B C é retângulo? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado nos dá quatro pontos em R^3:
A=(2,0,0), B=(1,1,1), C=(0,1,1) e D=(5,2,2).
Pede-se:
(a) calcular os vetores vec u=AB, vec v=AC, vec w=AD;
(b) verificar se há escalares alpha1,alpha2,alpha3, não todos nulos, com alpha1vec u+alpha2vec v+alpha3vec w=vec 0 (independência linear);
(c) expressar vec v como combinação linear de vec u e vec w;
(d) checar se o triângulo ABC é retângulo (produto escalar).

Passo 2

Para cada vetor usamos subtração de coordenadas:
vec u=AB=B-A=(1-2,;1-0,;1-0)=(-1,1,1),
vec v=AC=C-A=(0-2,;1-0,;1-0)=(-2,1,1),
vec w=AD=D-A=(5-2,;2-0,;2-0)=(3,2,2).

Passo 3

Para ver se existem
Como há apenas duas equações independentes para três incógnitas, existe solução não trivial. Por exemplo, escolhendo e da primeira , ou seja e . Logo

Passo 4

Para escrever
Isso dá o sistema
Da segunda equação (x=1-2y]. Substituindo na primeira:

Logo

Passo 5

Um triângulo é retângulo se algum par de lados é ortogonal. As arestas de ABC são vec u=AB, vec v=AC e BC=vec v-vec u. Calculamos os produtos escalares no vértice A:
vec ucdotvec v =(-1)(-2)+1cdot1+1cdot1=4neq0
Como não há produto escalar zero em A e checagens similares em outros vértices também não dão zero, o triângulo ABC não é retângulo.

Resposta

(a) vec u=(-1,1,1), vec v=(-2,1,1), vec w=(3,2,2).
(b) Sim. Exemplo: alpha1=-7, alpha2=5, alpha3=1 satisfazem alpha1vec u+alpha2vec v+alpha3vec w=vec 0.
(c) vec v=tfrac75,vec u-tfrac15,vec w.
(d) Não, pois nenhum par de arestas do triângulo ABC é ortogonal (produtos escalares não são zero).

Exercícios relacionados