(2, 0 PT) Consideremos as operações
e
em
definidas por:
Mostre que (
) é um anel comutativo com elemento unidade.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos o conjunto com duas operações internas
Temos o conjunto
Queremos mostrar que
é um anel comutativo com unidade. Precisamos verificar:
.
é grupo abeliano.
.
é semigrupo abeliano com elemento unidade.
.
distribui sobre
.
Passo 2
Verificando que
é grupo abeliano
. Fechamento: se
, então
.
. Associatividade:
Logo
é grupo abeliano de neutro
.
Passo 3
Verificando que
é semigrupo abeliano com neutro multiplicativo
. Fechamento:
.
. Comutatividade: claro, pois a expressão é simétrica em
.
. Associatividade: basta verificar que tanto
levam a
o que é direto ao expandir as definições.
. Neutro multiplicativo
satisfaz
:
Para todo
a única solução é
. Logo
é o neutro de
.
Passo 4
Verificando a distributividade de
sobre
Queremos, por exemplo,
Queremos, por exemplo,
O lado esquerdo é
O lado direito é
Como os dois coincidem, a distributividade à direita vale. A distributividade à esquerda é análoga pela comutatividade de
.
Passo 5
Conclusão
Juntando tudo, é grupo abeliano,
é semigrupo abeliano com neutro
, e
distribui sobre
. Portanto
é um anel comutativo com unidade.
Juntando tudo,
Resposta
O anel é comutativo, o elemento neutro aditivo (para
) é
e o elemento unidade multiplicativa (para
) é
.