(2, 0 PT) Consideremos as operações \star e \Delta em \mathbb{Q} definidas por:
x \star y=x+y-2 \quad \text { e } \quad x \Delta y=x+y-\frac{x y}{2} .
Mostre que ( \mathbb{Q}, \star, \Delta ) é um anel comutativo com elemento unidade.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos o conjunto \mathbb{Q} com duas operações internas
x\star y = x + y - 2,
x\Delta y = x + y - \frac{xy}{2}.
Queremos mostrar que (\mathbb{Q},\star,\Delta) é um anel comutativo com unidade. Precisamos verificar:
1. (\mathbb{Q},\star) é grupo abeliano.
2. (\mathbb{Q},\Delta) é semigrupo abeliano com elemento unidade.
3. \Delta distribui sobre \star.

Passo 2

Verificando que (\mathbb{Q},\star) é grupo abeliano
1. Fechamento: se x,y\in\mathbb{Q}, então x+y-2\in\mathbb{Q}.
2. Associatividade:
x\star(y\star z) = x +\bigl(y+z-2\bigr)-2 = x+y+z-4 =(x+y-2)+z-2 =(x\star y)\star z.
3. Comutatividade é óbvia: x+y-2 = y+x-2.
4. Elemento identidade (neutro aditivo) e_{\star} satisfaz x\star e_{\star}=x;
x+e_{\star}-2=x \;\Longrightarrow\; e_{\star}=2.
5. Inverso de x: solução de x\star y=2
x+y-2=2 \;\Longrightarrow\; y=4-x.
Logo (\mathbb{Q},\star) é grupo abeliano de neutro 2.

Passo 3

Verificando que (\mathbb{Q},\Delta) é semigrupo abeliano com neutro multiplicativo
1. Fechamento: x+y-\tfrac{xy}{2}\in\mathbb{Q}.
2. Comutatividade: claro, pois a expressão é simétrica em x,y.
3. Associatividade: basta verificar que tanto
x\Delta(y\Delta z) \quad\text{quanto}\quad (x\Delta y)\Delta z
levam a
x+y+z \;-\;\tfrac{xy+yz+xz}{2}\;+\;\tfrac{xyz}{4},
o que é direto ao expandir as definições.
4. Neutro multiplicativo e_{\Delta} satisfaz x\Delta e_{\Delta}=x:
x + e_{\Delta} - \frac{x\,e_{\Delta}}{2} = x \;\Longrightarrow\; e_{\Delta}\bigl(1-\tfrac{x}{2}\bigr)=0.
Para todo x a única solução é e_{\Delta}=0. Logo 0 é o neutro de \Delta.

Passo 4

Verificando a distributividade de \Delta sobre \star
Queremos, por exemplo,
x\Delta(y\star z) \stackrel{?}{=} (x\Delta y)\star(x\Delta z).
O lado esquerdo é
x\Delta\bigl(y+z-2\bigr) = x + (y+z-2) - \frac{x\,(y+z-2)}{2} =2x + y+z -2 -\frac{xy+xz}{2}.
O lado direito é
(x\Delta y)\star(x\Delta z) = \bigl(x+y-\tfrac{xy}{2}\bigr) +\bigl(x+z-\tfrac{xz}{2}\bigr) -2 =2x + y+z -2 -\tfrac{xy+xz}{2}.
Como os dois coincidem, a distributividade à direita vale. A distributividade à esquerda é análoga pela comutatividade de \Delta.

Passo 5

Conclusão
Juntando tudo, (\mathbb{Q},\star) é grupo abeliano, (\mathbb{Q},\Delta) é semigrupo abeliano com neutro 0, e \Delta distribui sobre \star. Portanto (\mathbb{Q},\star,\Delta) é um anel comutativo com unidade.

Resposta

O anel é comutativo, o elemento neutro aditivo (para \star) é 2 e o elemento unidade multiplicativa (para \Delta) é 0.

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