(1, 0 PT) Consideremos o conjunto \mathbb{Z}_{5} com as operações usuais de adição + e multiplicação \cdot.
a) Verifique que ( \mathbb{Z}_{5},+, \cdot ) é um anel;
b) Construa as tábuas das duas operações de ( \mathbb{Z}_{5},+, \cdot ) e determine os inversos de cada elemento;
c) \left(\mathbb{Z}_{5},+, \cdot\right) é um corpo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado usa o conjunto \mathbb{Z}_{5}=\{0,1,2,3,4\} com adição e multiplicação módulo 5.
a) Precisamos mostrar que (\mathbb{Z}_{5},+,\cdot) satisfaz os axiomas de anel.
b) Vamos montar as tábuas de + e de \cdot e, a partir delas, extrair os inversos aditivo e multiplicativo de cada elemento.
c) Por fim, veremos se todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, caracterizando um corpo.

Passo 2

Verificamos os axiomas de anel em três partes:
  1. (\mathbb{Z}_{5},+) é um grupo abeliano:
    • Fechamento e associatividade decorrem da adição módulo 5.
    • Neutro é 0 pois a+0\equiv a\pmod5.
    • Todo a tem inverso aditivo -a\equiv5-a\pmod5.
    • Comutatividade: a+b\equiv b+a\pmod5.
  2. (\mathbb{Z}_{5},\cdot) é um monoide comutativo:
    • Fechamento e associatividade decorrem da multiplicação módulo 5.
    • Neutro é 1 pois a\cdot1\equiv a\pmod5.
    • Comutatividade: a\cdot b\equiv b\cdot a\pmod5.
  3. Distributividade vale para todo a,b,c\in\mathbb{Z}_{5}:
    a\cdot(b+c)\equiv a\cdot b + a\cdot c \quad\text{e}\quad (a+b)\cdot c\equiv a\cdot c + b\cdot c \pmod5.
Esses três itens mostram que (\mathbb{Z}_{5},+,\cdot) é um anel comutativo unitário.

Passo 3

Agora as tábuas de adição e multiplicação em \mathbb{Z}_{5}:
\begin{array}{c|ccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}
\begin{array}{c|ccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\\\ 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\\\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}

Passo 4

Inversos aditivos: cada a tem inverso -a\equiv5-a:
\begin{aligned} 0^{-}&=0,\quad1^{-}=4,\quad2^{-}=3,\quad3^{-}=2,\quad4^{-}=1. \end{aligned}
Inversos multiplicativos: só para os não nulos, tal que a\cdot a^{-1}\equiv1:
1^{-1}=1,\quad2^{-1}=3,\quad3^{-1}=2,\quad4^{-1}=4.
O elemento 0 não tem inverso multiplicativo.

Passo 5

Como todo elemento não nulo de \mathbb{Z}_{5} tem inverso multiplicativo e a multiplicação é comutativa, concluímos que (\mathbb{Z}_{5},+,\cdot) é um corpo.

Resposta

a) (\mathbb{Z}_{5},+,\cdot) satisfaz os axiomas de anel comutativo unitário.
b) As tábuas de + e \cdot estão acima; os inversos aditivos são 0,4,3,2,1 respectivamente e os inversos multiplicativos dos não nulos são 1,3,2,4.
c) Sim, é um corpo, pois todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

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