(1, 0 PT) Consideremos o conjunto
com as operações usuais de adição + e multiplicação
.
a) Verifique que (
) é um anel;
b) Construa as tábuas das duas operações de (
) e determine os inversos de cada elemento;
c)
é um corpo? Justifique sua resposta.
a) Verifique que (
b) Construa as tábuas das duas operações de (
c)
Passo 1
O enunciado usa o conjunto
com adição e multiplicação módulo
.
a) Precisamos mostrar que satisfaz os axiomas de anel.
b) Vamos montar as tábuas de e de
e, a partir delas, extrair os inversos aditivo e multiplicativo de cada elemento.
c) Por fim, veremos se todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, caracterizando um corpo.
a) Precisamos mostrar que
b) Vamos montar as tábuas de
c) Por fim, veremos se todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, caracterizando um corpo.
Passo 2
Verificamos os axiomas de anel em três partes:
-
é um grupo abeliano: - Fechamento e associatividade decorrem da adição módulo
. - Neutro é
pois . - Todo
tem inverso aditivo . - Comutatividade:
.
- Fechamento e associatividade decorrem da adição módulo
-
é um monoide comutativo: - Fechamento e associatividade decorrem da multiplicação módulo
. - Neutro é
pois . - Comutatividade:
.
- Fechamento e associatividade decorrem da multiplicação módulo
-
Distributividade vale para todo
:
Esses três itens mostram que
é um anel comutativo unitário.
Passo 3
Agora as tábuas de adição e multiplicação em
:
Passo 4
Inversos aditivos: cada
tem inverso
:
Inversos multiplicativos: só para os não nulos, tal que
:
O elemento
não tem inverso multiplicativo.
Passo 5
Como todo elemento não nulo de
tem inverso multiplicativo e a multiplicação é comutativa, concluímos que
é um corpo.
Resposta
a)
satisfaz os axiomas de anel comutativo unitário.
b) As tábuas de e
estão acima; os inversos aditivos são
respectivamente e os inversos multiplicativos dos não nulos são
.
c) Sim, é um corpo, pois todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
b) As tábuas de
c) Sim, é um corpo, pois todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.