Dê as definições de:
a) Anel;

Passo 1

O enunciado pede a definição de anel. Vamos recorrer à Álgebra Abstrata para descrever quais propriedades um conjunto deve satisfazer para ser considerado um anel.

Passo 2

Um anel é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto R não-vazio equipado com duas operações binárias, chamadas adição (denotada por +) e multiplicação (denotada por \cdot), que satisfazem as propriedades seguintes:
  1. (R,+) é um grupo abeliano, isto é:
    a) Fechamento: para todos a,b\in R, vale a+b\in R.
    b) Associatividade: para todos a,b,c\in R, vale (a+b)+c = a+(b+c).
    c) Elemento neutro aditivo: existe 0\in R tal que a+0 = a para todo a\in R.
    d) Inverso aditivo: para cada a\in R, existe -a\in R tal que a + (-a) = 0.
    e) Comutatividade: para todos a,b\in R, vale a+b = b+a.
  2. (R,\cdot) é um semigrupo, ou seja:
    a) Fechamento: para todos a,b\in R, vale a\cdot b\in R.
    b) Associatividade: para todos a,b,c\in R, vale (a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).
  3. Distributividade das operações: para todos a,b,c\in R, valem
    a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,
(a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.
Opcionalmente, se existir 1\in R tal que 1\cdot a = a\cdot 1 = a para todo a\in R, dizemos que é um anel unitário.

Resposta

Um anel é um conjunto R não-vazio com duas operações binárias + e \cdot tais que:
  1. (R,+) é grupo abeliano;
  2. (R,\cdot) é semigrupo (associativo e fechado);
  3. multiplicação distribui sobre adição pelos dois lados.
    Se houver elemento neutro multiplicativo, chama-se anel unitário.

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