Dê as definições de:
a) Anel;
a) Anel;
Passo 1
O enunciado pede a definição de anel. Vamos recorrer à Álgebra Abstrata para descrever quais propriedades um conjunto deve satisfazer para ser considerado um anel.
Passo 2
Um anel é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto
não-vazio equipado com duas operações binárias, chamadas adição (denotada por
) e multiplicação (denotada por
), que satisfazem as propriedades seguintes:
-
é um grupo abeliano, isto é:
a) Fechamento: para todos, vale .
b) Associatividade: para todos, vale .
c) Elemento neutro aditivo: existetal que para todo .
d) Inverso aditivo: para cada, existe tal que .
e) Comutatividade: para todos, vale . -
é um semigrupo, ou seja:
a) Fechamento: para todos, vale .
b) Associatividade: para todos, vale . -
Distributividade das operações: para todos
, valem
Opcionalmente, se existir
tal que
para todo
, dizemos que é um anel unitário.
Resposta
Um anel é um conjunto
não-vazio com duas operações binárias
e
tais que:
-
é grupo abeliano; -
é semigrupo (associativo e fechado); - multiplicação distribui sobre adição pelos dois lados.
Se houver elemento neutro multiplicativo, chama-se anel unitário.