O vetor posição de um íon é inicialmente \vec{r}=5,0 \hat{\mathrm{i}}-6,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}}
\operatorname{ser} \vec{r}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}+8,0 \hat{\mathrm{j}}-2,0 \hat{\mathrm{k}} \text {, com todos os valores em metros, e } t \text { em segundos. No intervalo } t=0 \text { a } t=4,0 \mathrm{~s}$, determine (a) o vetor deslocamento do íon, (b) o vetor velocidade média, \text{(c)} o módulo e (d) o ângulo do vetor velocidade média.íéóâé

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição inicial \vec r_i = 5,0\hat{\mathrm{i}} - 6,0\hat{\mathrm{j}} + 2,0\hat{\mathrm{k}}
e final \vec r_f = -2,0\hat{\mathrm{i}} + 8,0\hat{\mathrm{j}} - 2,0\hat{\mathrm{k}}
no intervalo de tempo de t=0 a t=4,0 s.
O conteúdo aqui é cinemática vetorial, usando definições de deslocamento e velocidade média para resolver.

Passo 2

O vetor deslocamento \Delta \vec r é definido por
\Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i
Logo,
\Delta \vec r = (-2,0 - 5,0)\hat{\mathrm{i}} + (8,0 - (-6,0))\hat{\mathrm{j}} + (-2,0 - 2,0)\hat{\mathrm{k}} = -7,0\hat{\mathrm{i}} + 14,0\hat{\mathrm{j}} - 4,0\hat{\mathrm{k}}.

Passo 3

A velocidade média \vec v_{\text{média}}é é
\vec v_{\text{média}} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{-7,0\hat{\mathrm{i}} + 14,0\hat{\mathrm{j}} - 4,0\hat{\mathrm{k}}}{4,0} = -1,75\hat{\mathrm{i}} + 3,5\hat{\mathrm{j}} - 1,0\hat{\mathrm{k}}\quad(\mathrm{m/s}).é

Passo 4

O módulo de \vec v_{\text{média}}é é
\bigl|\vec v_{\text{média}}\bigr| = \sqrt{(-1,75)^2 + (3,5)^2 + (-1,0)^2} \approx 4,04\;\mathrm{m/s}.é

Passo 5

O ângulo \alpha que \vec v_{\text{média}}é faz com o eixo x (vetor \hat{\mathrm{i}}) vem de
\alpha = \cos^{-1}\!\Bigl(\frac{v_x}{\bigl|\vec v_{\text{média}}\bigr|}\Bigr) = \cos^{-1}\!\Bigl(\frac{-1,75}{4,04}\Bigr) \approx 115,7^\circ.é

Resposta

(a) \Delta \vec r = -7,0\hat{\mathrm{i}} + 14,0\hat{\mathrm{j}} - 4,0\hat{\mathrm{k}} m
(b) \vec v_{\text{média}} = -1,75\hat{\mathrm{i}} + 3,5\hat{\mathrm{j}} - 1,0\hat{\mathrm{k}}é m/s
(c) \bigl|\vec v_{\text{média}}\bigr| \approx 4,04é m/s
(d) \alpha \approx 115,7^\circ

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