(1,5 pt.) Determine:
f(1)-f(0), se f(x-2)=x^{2}-4 x+4;

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
f(x-2)=x^{2}-4x+4
e pede o valor de f(1)-f(0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão relaciona f avaliada em x-2 com um polinômio em x.
  • O que se quer é a diferença entre f em dois pontos específicos: 1 e 0.

Passo 2

Idéia geral (explicação didática da técnica de substituição):
Quando aparece uma relação do tipo f(x-a)=\text{(algo em }x), uma forma direta de obter a fórmula de f em termos de sua própria variável é fazer a substituição inversa. Ou seja, definir uma nova variável t para representar o argumento verdadeiro de f:
\text{coloca-se }t = x-2.
Isso significa que x = t+2. Substituindo x=t+2 na expressão dada obtemos f(t) em função de t. Aqui cada símbolo significa:
  • t é a variável que vai representar o argumento de f (ou seja, t substitui x-2),
  • x é a variável original da expressão dada, usada apenas para nos guiar na substituição.

Passo 3

Aplicando a substituição x = t+2 na expressão dada:
f(t)= (t+2)^{2} - 4(t+2) + 4.
Agora vamos desenvolver essa expressão passo a passo (sem pular etapas):
(t+2)^{2} = t^{2} + 4t + 4,
-4(t+2) = -4t - 8.
Somando tudo:
f(t) = \bigl(t^{2} + 4t + 4\bigr) + \bigl(-4t - 8\bigr) + 4.
Agrupando termos semelhantes:
f(t) = t^{2} + (4t - 4t) + (4 - 8 + 4).
f(t) = t^{2} + 0\cdot t + 0 = t^{2}.

Passo 4

Interpretação: a conta acima mostra que, para qualquer argumento t,
f(t)=t^{2}.
Em outras palavras, a função f é a função quadrática f(x)=x^{2}. (Uma observação rápida: isso também podia ser visto imediatamente reconhecendo que x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}, logo f(x-2)=(x-2)^{2} e portanto f(u)=u^{2} para u=x-2.)

Passo 5

Calcular os valores pedidos usando f(x)=x^{2}:
f(1)=1^{2}=1,
f(0)=0^{2}=0.

Passo 6

Calcular a diferença:
f(1)-f(0)=1-0=1.

Resposta

1

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