Questão 12: Resolva o problema max x y+x+y s.a x^{2} / 4+y^{2} / 9 \leq\left(c_{1}+c_{2}+c_{3}+2\right)^{2} e x+y \leq c_{1}+c_{2}+c_{3}+2 usando o método de multiplicadores e justífique o emprego do mesmo. Determine se os Teoremas 3.1 .3 e 3.6.1 podem ser usados.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei o símbolo c_{1}+c_{2}+c_{3}+2 do enunciado).
  • A função objetivo a maximizar é \;f(x,y)=x y+x+y.
  • As restrições são duas desigualdades: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+2\bigr)^{2}e x+y\le c_{1}+c_{2}+c_{3}+2.
  • Defino para simplificar a constante S:=c_{1}+c_{2}+c_{3}+2,que é um número fixo (dado pelo enunciado). Assim as restrições ficam \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\le S^{2},\qquad x+y\le S.
O enunciado pede: resolver o problema de maximização usando o método de multiplicadores (justificar o uso) e dizer se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser usados.

Passo 2

Justificativa do método: como as restrições são diferenciáveis e queremos pontos extremos num conjunto fechado e limitado (a interseção do elipse escalada com o semiplano), é natural usar as condições de multiplicadores de Lagrange estendidas a desigualdades (condições de Karush–Kuhn–Tucker, KKT). Essas condições são necessárias para um máximo local sempre que valem condições de regularidade (por exemplo existe um ponto estritamente interior — condição de Slater — o que acontece se S>0, por exemplo o ponto (0,0) é estritamente factível). Portanto o uso de multiplicadores (KKT) é justificado para encontrar candidatos a extremos. Vou escrever as condições KKT e analisar os casos (restrições ativas/inativas) para obter os candidatos e depois comparar para saber qual é o máximo global.

Passo 3

Escrevo as funções e gradientes necessárias. Objetivo
f(x,y)=x y+x+y.
As restrições em forma padrão g_{1}(x,y)\le0, g_{2}(x,y)\le0 são
g_{1}(x,y):=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-S^{2}\le0, \qquad g_{2}(x,y):=x+y-S\le0.
Gradientes:
\nabla f(x,y)=(y+1,\;x+1),
\nabla g_{1}(x,y)=\Bigl(\frac{x}{2},\;\frac{2y}{9}\Bigr), \qquad \nabla g_{2}(x,y)=(1,1).
Condições KKT (existem multiplicadores \lambda\ge0, \mu\ge0 tais que)
\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g_{1}(x,y)+\mu\nabla g_{2}(x,y),
com complementaridade
\lambda\,g_{1}(x,y)=0,\qquad \mu\,g_{2}(x,y)=0,
e factibilidade g_{1}\le0,\;g_{2}\le0. Escrevendo componente a componente:
y+1=\lambda\frac{x}{2}+\mu, \qquad x+1=\lambda\frac{2y}{9}+\mu.
Vou analisar os casos possíveis para \lambda e \mu (inativos/ativos).

Passo 4

Caso 1: nenhum multiplicador ativo ( \lambda=0,\;\mu=0).
As equações ficam y+1=0,\;x+1=0, ou seja
(x,y)=(-1,-1).
Verifico factibilidade:
g_{1}(-1,-1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-S^{2}=\frac{13}{36}-S^{2}, \qquad g_{2}(-1,-1)=-2-S.
Para que (-1,-1) seja factível com ambas as desigualdades estritas precisamos de S^{2}>\tfrac{13}{36} (para g_{1}(-1,-1)<0) e S>-2 (para g_{2}(-1,-1)<0 — na verdade g_{2}(-1,-1)=-2-S<0 S>-2). Então (-1,-1) é um ponto crítico interior quando essas condições são verdadeiras. Esse ponto é candidato (é a solução das equações \nabla f=0), mas não garantimos ainda que seja máximo global — teremos que comparar valores.

Passo 5

Caso 2: somente a restrição linear ativa ( \lambda=0,\;\mu>0).
Então as equações KKT reduzem a
y+1=\mu,\qquad x+1=\mu\quad\Rightarrow\quad x=y.
Complementaridade para \mu g_{2}(x,y)=x+y-S=0, portanto com x=y obtém-se
2x=S\quad\Rightarrow\quad x=y=\frac{S}{2}.
Verifico a outra restrição:
g_{1}\Bigl(\frac{S}{2},\frac{S}{2}\Bigr) =\frac{(S/2)^{2}}{4}+\frac{(S/2)^{2}}{9}-S^{2} =S^{2}\Bigl(\frac{1}{16}+\frac{1}{36}-1\Bigr) =S^{2}\Bigl(\frac{13}{144}-1\Bigr) =-\frac{131}{144}S^{2}\le0,
portanto a restrição elíptica é realmente inativa (estrita) neste ponto sempre que S\ne0. Assim \bigl(\tfrac{S}{2},\tfrac{S}{2}\bigr) é factível e satisfaz KKT com \mu=y+1=\tfrac{S}{2}+1>0 (desde que S>-2, o que é natural no contexto). O valor da função neste ponto é
f\Bigl(\frac{S}{2},\frac{S}{2}\Bigr) =\frac{S^{2}}{4}+S.

Passo 6

Caso 3: somente a restrição elíptica ativa ( \lambda>0,\;\mu=0).
As equações são
y+1=\lambda\frac{x}{2},\qquad x+1=\lambda\frac{2y}{9},
com g_{1}(x,y)=0. Uma maneira prática de tratar esse caso é observar que estamos maximizando em uma curva (a elipse) sem a restrição linear a intervir; esse caso gera soluções determinados por resolver as equações acima (ou, alternativamente, parametrizar a elipse e derivar). Porém não é necessário resolver explicitamente este sistema: logo abaixo vou comparar o valor em qualquer candidato com o valor obtido em \bigl(\tfrac{S}{2},\tfrac{S}{2}\bigr) e mostrar que esse último dá o maior valor global (no caso S\ge0). Portanto não precisamos encontrar explicitamente as soluções do caso 3 para concluir o máximo global. (Se alguém quisesse, poderia parametrizar a elipse por x=2S\cos\theta,\;y=3S\sin\theta e resolver \tfrac{d}{d\theta}f=0 para achar os pontos críticos sobre a elipse.)

Passo 7

Comparação e prova de otimalidade global (truque direto e simples). Vou agora mostrar que, quando S\ge0 (caso natural no enunciado, pois S=c_{1}+c_{2}+c_{3}+2 normalmente é não-negativo), o ponto \bigl(\tfrac{S}{2},\tfrac{S}{2}\bigr) atinge o valor máximo global. Argumento elementar e eficiente:
  • Para qualquer ponto factível vale x+y\le S. Pela desigualdade aritmético–geométrica (ou completando quadrado), x y \le\frac{(x+y)^{2}}{4}.Portanto, para qualquer ponto factível, f(x,y)=x y+x+y \le \frac{(x+y)^{2}}{4}+(x+y).
  • Seja t:=x+y. Como t\le S e assumindo S\ge0, tem-se (x+y)^{2}\le S^{2}. Assim f(x,y)\le \frac{t^{2}}{4}+t \le \frac{S^{2}}{4}+S.
  • A igualdade nesta cadeia ocorre quando x=y (para ter xy=(x+y)^{2}/4) e quando x+y=S. Ou seja, ocorre exatamente no ponto x=y=S/2. Além disso verificámos no Passo 5 que esse ponto é factível (a elipse fica estritamente satisfeita ali), logo é admissível.
  • Conclusão: para S\ge0 temos, para todo ponto factível, f(x,y)\le \dfrac{S^{2}}{4}+S e o ponto \bigl(\tfrac{S}{2},\tfrac{S}{2}\bigr) alcança essa cota. Logo esse ponto é um máximo global e o valor máximo é \dfrac{S^{2}}{4}+S.
Observação sobre o caso S<0: nesse caso a etapa que usa (x+y)^{2}\le S^{2} NÃO é válida (porque x+y\le S<0 não implica |x+y|\le|S|). Para S<0 a análise deve separar casos e comparar candidatos das condições KKT (por exemplo o ponto crítico interior (-1,-1) pode ser relevante). Como o enunciado tipicamente tem S=c_{1}+c_{2}+c_{3}+2 com S não negativo, o caso S\ge0 é o importante e tratado acima.

Passo 8

Resumo final e interpretação dos Teoremas pedidos:
  • O uso do método de multiplicadores (KKT) foi justificado: as funções são diferenciáveis e existe condição de regularidade (Slater) quando S>0, logo as condições KKT são necessárias. No raciocínio efetivo usei as condições KKT para enumerar candidatos (casos em que cada restrição está ativa) e depois usei uma desigualdade simples para provar que o candidato com a restrição linear ativa apenas é globalmente ótimo quando S\ge0.
  • Sobre os teoremas mencionados:
    • O Teorema 3.1.3 (regra dos multiplicadores de Lagrange para restrições ativas/igualdades) pode ser aplicado para analisar pontos onde tratamos restrições activas como igualdades (por exemplo quando x+y=S ou quando a elipse é ativa). Assim, seu uso é apropriado para obter as equações KKT quando se tem igualdade.
    • O Teorema 3.6.1 (se for o enunciado que dá suficiência das condições KKT/convexidade: se o problema é de maximização com função objetivo côncava e região factível convexa então KKT são suficientes) NÃO pode ser aplicado diretamente aqui porque a função objetivo f(x,y)=xy+x+y não é côncava no plano (o Hessiano é indefinido). Portanto a suficiência padrão baseada em convexidade/concavidade não se aplica. Mesmo assim, no caso S\ge0 provei a otimalidade global por um argumento direto (desigualdade), então obtenho a solução global apesar de não poder invocar diretamente o teorema de suficiência convexo.

Resposta

x=\dfrac{c_{1}+c_{2}+c_{3}+2}{2},\quad y=\dfrac{c_{1}+c_{2}+c_{3}+2}{2}
Valor máximo: \displaystyle \frac{\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+2\bigr)^{2}}{4}+\bigl(c_{1}+c_{2}+c_{3}+2\bigr)

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