Questão 12: Resolva o problema max
s.a
e
usando o método de multiplicadores e justífique o emprego do mesmo. Determine se os Teoremas 3.1 .3 e 3.6.1 podem ser usados.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei o símbolo
do enunciado).
- A função objetivo a maximizar é
. - As restrições são duas desigualdades:
e - Defino para simplificar a constante
que é um número fixo (dado pelo enunciado). Assim as restrições ficam
O enunciado pede: resolver o problema de maximização usando o método de multiplicadores (justificar o uso) e dizer se os Teoremas 3.1.3 e 3.6.1 podem ser usados.
Passo 2
Justificativa do método: como as restrições são diferenciáveis e queremos pontos extremos num conjunto fechado e limitado (a interseção do elipse escalada com o semiplano), é natural usar as condições de multiplicadores de Lagrange estendidas a desigualdades (condições de Karush–Kuhn–Tucker, KKT). Essas condições são necessárias para um máximo local sempre que valem condições de regularidade (por exemplo existe um ponto estritamente interior — condição de Slater — o que acontece se
, por exemplo o ponto
é estritamente factível). Portanto o uso de multiplicadores (KKT) é justificado para encontrar candidatos a extremos. Vou escrever as condições KKT e analisar os casos (restrições ativas/inativas) para obter os candidatos e depois comparar para saber qual é o máximo global.
Passo 3
Escrevo as funções e gradientes necessárias. Objetivo
As restrições em forma padrão
,
são
Gradientes:
Condições KKT (existem multiplicadores
,
tais que)
com complementaridade
e factibilidade
. Escrevendo componente a componente:
Vou analisar os casos possíveis para
e
(inativos/ativos).
Passo 4
Caso 1: nenhum multiplicador ativo (
).
As equações ficam , ou seja
As equações ficam
Verifico factibilidade:
Para que
seja factível com ambas as desigualdades estritas precisamos de
(para
) e
(para
— na verdade
dá
). Então
é um ponto crítico interior quando essas condições são verdadeiras. Esse ponto é candidato (é a solução das equações
), mas não garantimos ainda que seja máximo global — teremos que comparar valores.
Passo 5
Caso 2: somente a restrição linear ativa (
).
Então as equações KKT reduzem a
Então as equações KKT reduzem a
Complementaridade para
dá
, portanto com
obtém-se
Verifico a outra restrição:
portanto a restrição elíptica é realmente inativa (estrita) neste ponto sempre que
. Assim
é factível e satisfaz KKT com
(desde que
, o que é natural no contexto). O valor da função neste ponto é
Passo 6
Caso 3: somente a restrição elíptica ativa (
).
As equações são
As equações são
com
. Uma maneira prática de tratar esse caso é observar que estamos maximizando em uma curva (a elipse) sem a restrição linear a intervir; esse caso gera soluções determinados por resolver as equações acima (ou, alternativamente, parametrizar a elipse e derivar). Porém não é necessário resolver explicitamente este sistema: logo abaixo vou comparar o valor em qualquer candidato com o valor obtido em
e mostrar que esse último dá o maior valor global (no caso
). Portanto não precisamos encontrar explicitamente as soluções do caso 3 para concluir o máximo global. (Se alguém quisesse, poderia parametrizar a elipse por
e resolver
para achar os pontos críticos sobre a elipse.)
Passo 7
Comparação e prova de otimalidade global (truque direto e simples). Vou agora mostrar que, quando
(caso natural no enunciado, pois
normalmente é não-negativo), o ponto
atinge o valor máximo global. Argumento elementar e eficiente:
- Para qualquer ponto factível vale
. Pela desigualdade aritmético–geométrica (ou completando quadrado), Portanto, para qualquer ponto factível, - Seja
. Como e assumindo , tem-se . Assim - A igualdade nesta cadeia ocorre quando
(para ter ) e quando . Ou seja, ocorre exatamente no ponto . Além disso verificámos no Passo 5 que esse ponto é factível (a elipse fica estritamente satisfeita ali), logo é admissível. - Conclusão: para
temos, para todo ponto factível, e o ponto alcança essa cota. Logo esse ponto é um máximo global e o valor máximo é .
Observação sobre o caso
: nesse caso a etapa que usa
NÃO é válida (porque
não implica
). Para
a análise deve separar casos e comparar candidatos das condições KKT (por exemplo o ponto crítico interior
pode ser relevante). Como o enunciado tipicamente tem
com
não negativo, o caso
é o importante e tratado acima.
Passo 8
Resumo final e interpretação dos Teoremas pedidos:
- O uso do método de multiplicadores (KKT) foi justificado: as funções são diferenciáveis e existe condição de regularidade (Slater) quando
, logo as condições KKT são necessárias. No raciocínio efetivo usei as condições KKT para enumerar candidatos (casos em que cada restrição está ativa) e depois usei uma desigualdade simples para provar que o candidato com a restrição linear ativa apenas é globalmente ótimo quando . - Sobre os teoremas mencionados:
- O Teorema 3.1.3 (regra dos multiplicadores de Lagrange para restrições ativas/igualdades) pode ser aplicado para analisar pontos onde tratamos restrições activas como igualdades (por exemplo quando
ou quando a elipse é ativa). Assim, seu uso é apropriado para obter as equações KKT quando se tem igualdade. - O Teorema 3.6.1 (se for o enunciado que dá suficiência das condições KKT/convexidade: se o problema é de maximização com função objetivo côncava e região factível convexa então KKT são suficientes) NÃO pode ser aplicado diretamente aqui porque a função objetivo
não é côncava no plano (o Hessiano é indefinido). Portanto a suficiência padrão baseada em convexidade/concavidade não se aplica. Mesmo assim, no caso provei a otimalidade global por um argumento direto (desigualdade), então obtenho a solução global apesar de não poder invocar diretamente o teorema de suficiência convexo.
- O Teorema 3.1.3 (regra dos multiplicadores de Lagrange para restrições ativas/igualdades) pode ser aplicado para analisar pontos onde tratamos restrições activas como igualdades (por exemplo quando
Resposta
Valor máximo: