a) (0,5 pt) Encontre um conjunto fundamental de soluções para a EDO y^prime prime-2 y^prime+y=0,
b) ( 1,5 pt) Use o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular da EDO
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x ln x, x>0,
c) (0,5 pt) Encontre a solução geral da EDO do ítem (b).

Passo 1

O exercício tem três partes: (a) pede o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea y''-2y'+y=0, (b) quer uma solução particular da EDO não homogênea y''+2y'+y=e^-xln x pelo método da variação dos parâmetros, e © a solução geral da parte (b). Vamos usar teoria de equações lineares de segunda ordem, cálculo do discriminante da equação característica, e depois variação de parâmetros.

Passo 2

Para (a), escrevemos a equação característica de y''-2y'+y=0:
r^2-2r+1=0
Que tem raiz dupla r=1. Logo as soluções fundamentais são
y1=e^x, y2=x e^x

Passo 3

Para (b) primeiro achamos o conjunto fundamental da homogênea associada y''+2y'+y=0. A equação característica é
r^2+2r+1=0
com raiz dupla r=-1. Logo
y1=e^-x, y2=x e^-x

Passo 4

Ainda em (b), para variação dos parâmetros precisamos do Wronskiano

Passo 5

A solução particular pelo método é
yp = -y1, abla1 + y2, abla2
onde
nabla1 = int racy2 ,g(x)W,dx, nabla2 = int racy1 ,g(x)W,dx,  
com g(x)=e^-xln x. Calculamos os integrandos:
racy2 gW = racx e^-xigl(e^-xln xr)e^-2x= x,ln x, 
racy1 gW = race^-xigl(e^-xln xr)e^-2x= ln x 

Passo 6

Precisamos então calcular as duas integrais:
I1 = int xln x,dx = x^22ln x - x^24, 
I2 = int ln x,dx = xln x - x 

Passo 7

Substituindo em yp=-y1 I1 + y2 I2, obtemos:
yp = -e^-xl(x^22ln x - x^24r) + x e^-x(xln x - x)
Simplificando:
yp = x^22e^-xln x - 3x^24e^-x

Passo 8

Para ©, a solução geral da EDO não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Logo
y(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + x^22e^-xln x - 3x^24e^-x

Resposta

a) Conjunto fundamental: e^x, x e^x b) Solução particular: yp(x)=x^22e^-xln x - 3x^24e^-x c) Solução geral: y(x)=C1 e^-x+C2 x e^-x+x^22e^-xln x-3x^24e^-x.

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