a)
Encontre um conjunto fundamental de soluções para a EDO
,
b) (
Use o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular da EDO
c)
Encontre a solução geral da EDO do ítem (b).
b) (
Passo 1
O exercício tem três partes: (a) pede o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea
, (b) quer uma solução particular da EDO não homogênea
pelo método da variação dos parâmetros, e © a solução geral da parte (b). Vamos usar teoria de equações lineares de segunda ordem, cálculo do discriminante da equação característica, e depois variação de parâmetros.
Passo 2
Para (a), escrevemos a equação característica de
:
Que tem raiz dupla
. Logo as soluções fundamentais são
Passo 3
Para (b) primeiro achamos o conjunto fundamental da homogênea associada
. A equação característica é
com raiz dupla
. Logo
Passo 4
Ainda em (b), para variação dos parâmetros precisamos do Wronskiano
Passo 5
A solução particular pelo método é
onde
com
. Calculamos os integrandos:
Passo 6
Precisamos então calcular as duas integrais:
Passo 7
Substituindo em
, obtemos:
Simplificando:
Passo 8
Para ©, a solução geral da EDO não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Logo
Resposta
a) Conjunto fundamental:
b) Solução particular:
c) Solução geral:
.