Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
O problema dá uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
Precisamos resolver
Precisamos resolver
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. Vamos usar o método do complemento geral + particular (método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é r^2 - r - 6 = 0, cujas raízes são
Logo o complementar é
Passo 3
Agora buscamos uma particular do tipo polinomial de grau 3, isto é
Calculamos as derivadas:
Substituindo em y’’ - y’ - 6y = x^3 obtemos um polinômio que deve igualar x^3. Isso leva ao sistema:
Resolvendo dá
$$a=-\tfrac16,
\ b=\tfrac1{12},
\ c=-\tfrac7{36},
\ c=-\tfrac7{36},
\ d=\tfrac{13}{216}.
y_p = -\tfrac16 x^3 + \tfrac1{12} x^2 - \tfrac7{36} x + \tfrac{13}{216}.$$
Passo 4
O geral da solução é
Aplicamos as condições iniciais. Em x=0 temos
Isso resulta em
Passo 5
Substituindo C_1 e C_2 de volta, chegamos à solução que satisfaz as condições iniciais.