Resolva o problema de valor inicial y^prime prime-y^prime-6 y=x^3, y(0)=0, y^prime(0)=0.

Passo 1

O problema dá uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
Precisamos resolver
y''-y'-6y=x^3,
com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. Vamos usar o método do complemento geral + particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-y'-6y=0
A equação característica é r^2 - r - 6 = 0, cujas raízes são
r=3e r=-2
Logo o complementar é
yh = C1 e^3x + C2 e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma particular do tipo polinomial de grau 3, isto é
yp = ax^3 + bx^2 + cx + d
Calculamos as derivadas:
yp' = 3ax^2 + 2bx + c,
yp''=6ax+2b
Substituindo em y’’ - y’ - 6y = x^3 obtemos um polinômio que deve igualar x^3. Isso leva ao sistema:
-6a = 1,
-3a - 6b = 0,
6a - 2b - 6c = 0,
2b - c - 6d = 0
Resolvendo dá
$$a=-\tfrac16,
\ b=\tfrac1{12},
\ c=-\tfrac7{36},
\ d=\tfrac{13}{216}. a=-tfrac16, b=tfrac112, c=-tfrac736, d=tfrac13216y_p = -\tfrac16 x^3 + \tfrac1{12} x^2 - \tfrac7{36} x + \tfrac{13}{216}.$$

Passo 4

O geral da solução é
y = yh + yp = C1 e^3x + C2 e^-2x -tfrac16 x^3 + tfrac112 x^2 - tfrac736 x + tfrac13216
Aplicamos as condições iniciais. Em x=0 temos
y(0)=C1 + C2 + tfrac13216=0,
y'(0)=3C1 - 2C2 + l(-tfrac736r)=0
Isso resulta em
C1=tfrac2135, C2=-tfrac340

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 de volta, chegamos à solução que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x)=2135e^3x - 340e^-2x -16x^3 + 112x^2 - 736x + 13216

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