(a)(1.5 pt) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos P=(1,-1,-3), Q=(2,1,5) e R=(0,-1,-1).
(b)(1 pt) Encontre o único vetor \mathbf{N}=\left(N_{x}, N_{y}, N_{z}\right) que é normal a este plano, tem a componente z positiva, N_{z}>0, e é unitário, |\mathbf{N}|=1.
Passo 1
O enunciado dá três pontos e pede duas coisas:
Pontos dados: P=(1,-1,-3), Q=(2,1,5), R=(0,-1,-1).
Perguntas:
Encontre a equação do plano que passa por P,Q,R.
Encontre o único vetor \mathbf{N}=(N_x,N_y,N_z) que é normal a esse plano, tem N_z>0 e é unitário, |\mathbf{N}|=1.
Passo 2
Primeiro passo prático: construir dois vetores no plano (vetores que vão de um ponto a outro). Subtração de coordenadas dá vetores direcionais. Definimos
Esses vetores estão contidos no plano, então o produto vetorial entre eles dará um vetor perpendicular ao plano.
Passo 3
Explicação do produto vetorial (cross product) e aplicação: se temos \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos, com coordenadas dadas pelo determinante:
Portanto um vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(4,-10,2).]
Passo 4
Observação útil: qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também é normal. É conveniente simplificar \mathbf{n} dividindo por 2:
\mathbf{n}'=\bigl(2,-5,1\bigr).
Agora usamos a forma ponto-normal do plano: se \mathbf{n}'=(A,B,C) é normal e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Tomando \mathbf{n}'=(2,-5,1) e P=(1,-1,-3), obtemos
2(x-1)-5(y+1)+1(z+3)=0.
Passo 5
Desenvolvendo a expressão anterior passo a passo:
2x-2-5y-5+z+3=0.
Agrupando termos:
2x-5y+z+(-2-5+3)=2x-5y+z-4=0.
Assim, uma forma simples da equação do plano é
2x-5y+z=4.
Passo 6
Agora precisamos do vetor normal unitário com componente z positiva. Já temos o vetor normal simplificado \mathbf{n}'=(2,-5,1) cuja componente z é 1>0, então basta normalizá-lo. Explicando normalização: para tornar um vetor unitário dividimos o vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é