(a)(1.5 pt) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos P=(1,-1,-3), Q=(2,1,5) e R=(0,-1,-1).
(b)(1 pt) Encontre o único vetor \mathbf{N}=\left(N_{x}, N_{y}, N_{z}\right) que é normal a este plano, tem a componente z positiva, N_{z}>0, e é unitário, |\mathbf{N}|=1.

Passo 1

O enunciado dá três pontos e pede duas coisas:
  • Pontos dados: P=(1,-1,-3), Q=(2,1,5), R=(0,-1,-1).
  • Perguntas:
    1. Encontre a equação do plano que passa por P,Q,R.
    2. Encontre o único vetor \mathbf{N}=(N_x,N_y,N_z) que é normal a esse plano, tem N_z>0 e é unitário, |\mathbf{N}|=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: construir dois vetores no plano (vetores que vão de um ponto a outro). Subtração de coordenadas dá vetores direcionais. Definimos
\overrightarrow{PQ}=Q-P
e
\overrightarrow{PR}=R-P.
Calculando componente a componente:
\overrightarrow{PQ}=(2-1,\;1-(-1),\;5-(-3))=(1,\;2,\;8),
\overrightarrow{PR}=(0-1,\;-1-(-1),\;-1-(-3))=(-1,\;0,\;2).
Esses vetores estão contidos no plano, então o produto vetorial entre eles dará um vetor perpendicular ao plano.

Passo 3

Explicação do produto vetorial (cross product) e aplicação: se temos \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos, com coordenadas dadas pelo determinante:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_x & a_y & a_z\\[4pt] b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = \bigl(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x\bigr).
Aplicando a \overrightarrow{PQ}=(1,2,8) e \overrightarrow{PR}=(-1,0,2):
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}= \bigl(2\cdot2-8\cdot0,\;8\cdot(-1)-1\cdot2,\;1\cdot0-2\cdot(-1)\bigr).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=(4,\;-8-2,\;0+2)=(4,\;-10,\;2).
Portanto um vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(4,-10,2).]

Passo 4

Observação útil: qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também é normal. É conveniente simplificar \mathbf{n} dividindo por 2:
\mathbf{n}'=\bigl(2,-5,1\bigr).
Agora usamos a forma ponto-normal do plano: se \mathbf{n}'=(A,B,C) é normal e P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Tomando \mathbf{n}'=(2,-5,1) e P=(1,-1,-3), obtemos
2(x-1)-5(y+1)+1(z+3)=0.

Passo 5

Desenvolvendo a expressão anterior passo a passo:
2x-2-5y-5+z+3=0.
Agrupando termos:
2x-5y+z+(-2-5+3)=2x-5y+z-4=0.
Assim, uma forma simples da equação do plano é
2x-5y+z=4.

Passo 6

Agora precisamos do vetor normal unitário com componente z positiva. Já temos o vetor normal simplificado \mathbf{n}'=(2,-5,1) cuja componente z é 1>0, então basta normalizá-lo. Explicando normalização: para tornar um vetor unitário dividimos o vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Calculamos a norma de \mathbf{n}':
\|\mathbf{n}'\|=\sqrt{2^2+(-5)^2+1^2}=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}.

Passo 7

Dividindo \mathbf{n}' pela norma para obter o vetor unitário:
\mathbf{N}=\frac{1}{\sqrt{30}}\bigl(2,-5,1\bigr)=\left(\frac{2}{\sqrt{30}},-\frac{5}{\sqrt{30}},\frac{1}{\sqrt{30}}\right).
Verificação rápida: o componente z é \dfrac{1}{\sqrt{30}}>0 e
\left(\frac{2}{\sqrt{30}}\right)^2+\left(-\frac{5}{\sqrt{30}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{30}}\right)^2=\frac{4+25+1}{30}=\frac{30}{30}=1,
logo |\mathbf{N}|=1. Pronto — esse é o único vetor unitário normal com N_z>0.

Resposta

2x-5y+z=4
\mathbf{N}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{30}},-\dfrac{5}{\sqrt{30}},\dfrac{1}{\sqrt{30}}\right)

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