Considere a curva C dada por
C:\left\{\begin{array}{l} x(t)=2 \cos t \\\ y(t)=3 \operatorname{sen} t, \quad t \in[0,2 \pi] \end{array}\right.
(a)(1 pt) Exiba a equação cartesiana de C, identificando-a;
(b) ( 0.5 pt) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção de C com os eixos x e y;
(c) (1 pt) Calcule o coeficiente angular da tangente à curva quando t=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica C\) com \[\begin{cases} x(t)=2\cos t\\[4pt] y(t)=3\sin t,\quad t\in[0,2\pi] \end{cases}
e pede três coisas:
(a) exibir a equação cartesiana de C\] e identificá‑la; (b) encontrar as coordenadas dos pontos de interseção de \(C com os eixos x e y;
(c) calcular o coeficiente angular (inclinação) da tangente à curva quando t=\dfrac{\pi}{4}.]

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro t para obter a equação cartesiana. Aqui vai a ideia básica (passo a passo): das expressões paramétricas isolamos \cos t e \sin t e usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 t+\sin^2 t=1. Escrevendo
\cos t=\frac{x}{2},\qquad \sin t=\frac{y}{3},
e somando os quadrados teremos a equação desejada. A identidade \cos^2 t+\sin^2 t=1 é uma relação verdadeira para todo t; é a chave para eliminar o parâmetro.

Passo 3

Aplicando o procedimento do passo anterior:
\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Portanto a equação cartesiana é
\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2=1.
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior e menor dados pelos denominadores: semi-eixo em x é 2 e em y é 3. Como 3>2, a elipse é mais “alongada” na direção y.

Passo 4

Agora as interseções com os eixos. Uma forma é usar a parametrização; outra é usar a equação cartesiana. Vou fazer as duas concisas para fixar o raciocínio.
Interseção com o eixo x: suponha y=0. Pela equação cartesiana
\left(\frac{x}{2}\right)^2+0=1\implies \left(\frac{x}{2}\right)^2=1\implies x=\pm2.
Na parametrização, y=3\sin t=0 \sin t=0\Rightarrow t=0,\pi,2\pi. Nessas t temos x=2\cos t igual a 2,-2,2 respectivamente, confirmando os pontos (2,0) e (-2,0).
Interseção com o eixo y: suponha x=0. Pela equação cartesiana
0+\left(\frac{y}{3}\right)^2=1\implies y=\pm3.
Na parametrização, x=2\cos t=0\Rightarrow \cos t=0\Rightarrow t=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}, dando y=3 e y=-3. Os pontos são (0,3) e (0,-3).

Passo 5

Para encontrar o coeficiente angular da tangente (a inclinação m = \dfrac{dy}{dx}) em curvas paramétricas usamos a fórmula
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0. Essa fórmula vem da regra da cadeia: y e x são funções de t, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(dy/dt)}{(dx/dt)}.

Passo 6

Calculemos as derivadas em relação a t. Lembre que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(2\cos t)=-2\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(3\sin t)=3\cos t.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cos t}{-2\sin t}=-\frac{3}{2}\cdot\frac{\cos t}{\sin t}=-\frac{3}{2}\cot t.

Passo 7

Avalie em t=\dfrac{\pi}{4}. Sabemos que \cot\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1. Portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\pi/4}=-\frac{3}{2}\cdot 1=-\frac{3}{2}.
Se for útil, o ponto da curva nesse t é
x\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
y\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=3\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},
mas o enunciado pediu só o coeficiente angular, que é -\dfrac{3}{2}.

Resposta

(a) \left(\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y}{3}\right)^2=1 — elipse centrada na origem com semi‑eixos 2 e 3.
(b) Interseções com os eixos: (2,0),\;(-2,0),\;(0,3),\;(0,-3).
(c) Coeficiente angular da tangente em t=\dfrac{\pi}{4}: -\dfrac{3}{2}.

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