Uma quádrica é descrita pela equação cartesiana
(a)(1.5 pt) Encontre as equações cartesianas das curvas associadas aos cortes da referida quádrica com os planos descritos por
e
. Então, considerando a natureza dos cortes, identifique a quádrica por seu nome.
(b)(1 pt) Um dos cortes no item anterior trata-se de uma elipse. Encontre sua área. [Nota: a área de uma elipse é dada por
vezes o produto do semi-eixo menor pelo semi-eixo maior.]
(b)(1 pt) Um dos cortes no item anterior trata-se de uma elipse. Encontre sua área. [Nota: a área de uma elipse é dada por
Passo 1
O enunciado dá a quádrica
e pede: (a) encontrar as equações cartesianas das curvas obtidas pelos cortes com os planos
,
e
, classificar a natureza desses cortes e identificar a quádrica por seu nome; (b) entre esses cortes há uma elipse — encontrar a área dessa elipse. As informações relevantes são a equação dada e os três planos de corte indicados. A resolução começa aplicando cada equação de plano na equação da quádrica.
Passo 2
Corte com o plano
. Substituo
na equação da quádrica:
Simplificando:
Isolando
:
Interpretação didática: essa é uma relação quadrática entre
e
(grau 2 em
e grau 1 em
), com
fixo em zero. Geometricamente, no plano
(plano
), a curva é uma parábola com vértice em
que se abre no sentido de
. Uma parametrização simples é
(com
).
Passo 3
Corte com o plano
. Substituo
na equação da quádrica:
ou seja
Isolando
:
Interpretação didática: no plano
(plano
), a curva é uma parábola
, vértice em
, abrindo para
. Parametrização:
(com
).
Passo 4
Corte com o plano
. Substituo
na equação da quádrica:
Coloco na forma padrão de elipse dividindo por
:
Interpretação didática: a equação geral de uma elipse centrada na origem é
onde
e
são os semi-eixos (posso chamar
o semi-eixo ao longo de
e
o semi-eixo ao longo de
). Comparando, temos
e
. Como
, o semi-eixo maior está na direção
.
Passo 5
Identificação da quádrica. Reescrevo a equação original como
Didaticamente: formas do tipo
com
e
representam um paraboloide que se abre ao longo do eixo
; se
e
são positivos e diferentes, os cortes horizontais
constante são elipses — isso caracteriza um paraboloide elíptico. Além disso, as interseções com planos que contêm o eixo
(como
e
) dão parábolas, o que confirma a natureza de paraboloide elíptico que abre em
.
Passo 6
Cálculo da área da elipse do corte
. A fórmula da área de uma elipse é
onde
e
são os semi-eixos. Aqui
e
. Portanto
Resposta
(a)
(parábola);\n
(parábola);\n
(elipse). Quádrica: paraboloide elíptico
.\n(b)