Uma quádrica é descrita pela equação cartesiana
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}-z=0
(a)(1.5 pt) Encontre as equações cartesianas das curvas associadas aos cortes da referida quádrica com os planos descritos por x=0, y=0 e z=1. Então, considerando a natureza dos cortes, identifique a quádrica por seu nome.
(b)(1 pt) Um dos cortes no item anterior trata-se de uma elipse. Encontre sua área. [Nota: a área de uma elipse é dada por \pi vezes o produto do semi-eixo menor pelo semi-eixo maior.]

Passo 1

O enunciado dá a quádrica
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}-z=0
e pede: (a) encontrar as equações cartesianas das curvas obtidas pelos cortes com os planos x=0, y=0 e z=1, classificar a natureza desses cortes e identificar a quádrica por seu nome; (b) entre esses cortes há uma elipse — encontrar a área dessa elipse. As informações relevantes são a equação dada e os três planos de corte indicados. A resolução começa aplicando cada equação de plano na equação da quádrica.

Passo 2

Corte com o plano x=0. Substituo x=0 na equação da quádrica:
0^{2}+\frac{y^{2}}{2}-z=0.
Simplificando:
\frac{y^{2}}{2}-z=0.
Isolando z:
z=\frac{y^{2}}{2}.
Interpretação didática: essa é uma relação quadrática entre y e z (grau 2 em y e grau 1 em z), com x fixo em zero. Geometricamente, no plano x=0 (plano yz), a curva é uma parábola com vértice em (0,0,0) que se abre no sentido de +z. Uma parametrização simples é y=t,\; z=\tfrac{t^{2}}{2} (com x=0).

Passo 3

Corte com o plano y=0. Substituo y=0 na equação da quádrica:
x^{2}+\frac{0^{2}}{2}-z=0,
ou seja
x^{2}-z=0.
Isolando z:
z=x^{2}.
Interpretação didática: no plano y=0 (plano xz), a curva é uma parábola z=x^{2}, vértice em (0,0,0), abrindo para +z. Parametrização: x=t,\; z=t^{2} (com y=0).

Passo 4

Corte com o plano z=1. Substituo z=1 na equação da quádrica:
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}-1=0.
Coloco na forma padrão de elipse dividindo por 1:
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{2}=1.
Interpretação didática: a equação geral de uma elipse centrada na origem é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a e b são os semi-eixos (posso chamar a o semi-eixo ao longo de x e b o semi-eixo ao longo de y). Comparando, temos a^{2}=1\Rightarrow a=1 e b^{2}=2\Rightarrow b=\sqrt{2}. Como b>a, o semi-eixo maior está na direção y.

Passo 5

Identificação da quádrica. Reescrevo a equação original como
z=x^{2}+\frac{y^{2}}{2}.
Didaticamente: formas do tipo z=A x^{2}+B y^{2} com A>0 e B>0 representam um paraboloide que se abre ao longo do eixo z; se A e B são positivos e diferentes, os cortes horizontais z= constante são elipses — isso caracteriza um paraboloide elíptico. Além disso, as interseções com planos que contêm o eixo z (como x=0 e y=0) dão parábolas, o que confirma a natureza de paraboloide elíptico que abre em +z.

Passo 6

Cálculo da área da elipse do corte z=1. A fórmula da área de uma elipse é
\text{Área}=\pi \cdot a \cdot b,Á
onde a e b são os semi-eixos. Aqui a=1 e b=\sqrt{2}. Portanto
\text{Área}=\pi\cdot 1\cdot \sqrt{2}=\pi\sqrt{2}.Á

Resposta

(a) x=0:\;x=0,\;z=\dfrac{y^{2}}{2} (parábola);\n y=0:\;y=0,\;z=x^{2} (parábola);\n z=1:\;\dfrac{x^{2}}{1}+\dfrac{y^{2}}{2}=1 (elipse). Quádrica: paraboloide elíptico z=x^{2}+\dfrac{y^{2}}{2}.\n(b) \pi\sqrt{2}

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