\mathrm{U}=\mathrm{i}-\mathrm{j}+3 \mathrm{k} \quad \text { e } \quad \mathrm{V}=2 \mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}
Encontre: (a) ( \mathbf{0 . 5} \mathbf{~ pt} ) O produto escalar \mathbf{U} \cdot \mathbf{V};
(b)( \mathbf{0 . 5} \mathbf{~ pt} ) O produto vetorial \mathbf{U} \times \mathbf{V};
(c) (1 \mathrm{pt}) \mathrm{O} ângulo \theta entre eles;
(d) (0.5 \mathrm{pt}) A área do paralelogramo gerado por \mathbf{U} e \mathbf{V}.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede, sem começar a resolver ainda.
Dados:
\mathbf{U}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}
\mathbf{V}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}
Perguntas:
(a) Calcular o produto escalar \mathbf{U}\cdot\mathbf{V}.\n
(b) Calcular o produto vetorial \mathbf{U}\times\mathbf{V}.\n
(c) Calcular o ângulo \theta entre \mathbf{U} e \mathbf{V}.\n
(d) Calcular a área do paralelogramo gerado por \mathbf{U} e \mathbf{V}.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever as componentes dos vetores em forma de coordenadas, que facilita os cálculos. Aqui estamos apenas reescrevendo os vetores em formato (x,y,z).
Definição: o produto vetorial \mathbf{U}\times\mathbf{V} é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{U} e \mathbf{V}. Em coordenadas usa-se o determinante formal
(Arredonde conforme a precisão pedida na prova; eu deixei três casas decimais em radianos e duas em graus.)
Passo 7
Área do paralelogramo gerado por \mathbf{U} e \mathbf{V}.
Definição/prática: a área do paralelogramo formado por dois vetores é o módulo do produto vetorial:
\text{Área}=\|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|.Á
Já calculamos \|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|=\sqrt{62}. Portanto a área é
\text{Área}=\sqrt{62}.Á
Como verificação alternativa (mesma resposta por outra fórmula): a área também é \|\mathbf{U}\|\,\|\mathbf{V}\|\,|\sin\theta|. Se calcularmos |\sin\theta| a partir de \cos\theta teremos o mesmo resultado, e de fato \sqrt{11}\sqrt{6}\sqrt{1-\left(\frac{-2}{\sqrt{66}}\right)^2}=\sqrt{62} — você pode conferir isso algébrica e numericamente se quiser.