Sejam os vetores
\mathrm{U}=\mathrm{i}-\mathrm{j}+3 \mathrm{k} \quad \text { e } \quad \mathrm{V}=2 \mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k}
Encontre: (a) ( \mathbf{0 . 5} \mathbf{~ pt} ) O produto escalar \mathbf{U} \cdot \mathbf{V};
(b)( \mathbf{0 . 5} \mathbf{~ pt} ) O produto vetorial \mathbf{U} \times \mathbf{V};
(c) (1 \mathrm{pt}) \mathrm{O} ângulo \theta entre eles;
(d) (0.5 \mathrm{pt}) A área do paralelogramo gerado por \mathbf{U} e \mathbf{V}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede, sem começar a resolver ainda.
Dados:
\mathbf{U}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}
\mathbf{V}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}
Perguntas:
(a) Calcular o produto escalar \mathbf{U}\cdot\mathbf{V}.\n
(b) Calcular o produto vetorial \mathbf{U}\times\mathbf{V}.\n
(c) Calcular o ângulo \theta entre \mathbf{U} e \mathbf{V}.\n
(d) Calcular a área do paralelogramo gerado por \mathbf{U} e \mathbf{V}.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever as componentes dos vetores em forma de coordenadas, que facilita os cálculos. Aqui estamos apenas reescrevendo os vetores em formato (x,y,z).
Da expressão dada:
\mathbf{U}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{U}=(1,-1,3)
\mathbf{V}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{V}=(2,1,-1)
Isso significa que as componentes são \mathbf{U}=(U_x,U_y,U_z)=(1,-1,3) e \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z)=(2,1,-1).

Passo 3

Produto escalar: definição e aplicação passo a passo.
Definição: o produto escalar entre \mathbf{U}=(U_x,U_y,U_z) e \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z) é
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.
Geometricamente, o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; algebraicamente é essa soma de produtos de componentes.
Aplicando aos nossos vetores:
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot(-1).
Agora faço cada produto e a soma:
1\cdot 2 = 2,\quad (-1)\cdot 1 = -1,\quad 3\cdot(-1) = -3.
Somando:
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=2-1-3= -2.

Passo 4

Produto vetorial: ideia e método determinantal.
Definição: o produto vetorial \mathbf{U}\times\mathbf{V} é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{U} e \mathbf{V}. Em coordenadas usa-se o determinante formal
\mathbf{U}\times\mathbf{V}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ U_x & U_y & U_z \\\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix}.
Isto significa que cada componente é obtida eliminando a linha e a coluna correspondentes (regra de Sarrus/expansão).
Aplicando com \mathbf{U}=(1,-1,3) e \mathbf{V}=(2,1,-1):
\mathbf{U}\times\mathbf{V} = \mathbf{i}\big((-1)(-1)-3\cdot 1\big) - \mathbf{j}\big(1\cdot(-1)-3\cdot 2\big) + \mathbf{k}\big(1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\big).
Calculo cada parêntese separadamente (fazendo devagar para não errar):
(-1)(-1)-3\cdot 1 = 1-3 = -2,
1\cdot(-1)-3\cdot 2 = -1-6 = -7,
1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 1 + 2 = 3.
Substituindo:
\mathbf{U}\times\mathbf{V} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(3).
O termo com \mathbf{j} fica positivo porque é -\mathbf{j}(-7)=+7\mathbf{j}. Assim:
\mathbf{U}\times\mathbf{V} = -2\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 3\mathbf{k}.
Em coordenadas:
\mathbf{U}\times\mathbf{V}=(-2,\,7,\,3).

Passo 5

Cálculo das normas (módulos) dos vetores, necessário para o ângulo e para a área.
Definição: a norma de \mathbf{U}=(U_x,U_y,U_z) é
\|\mathbf{U}\|=\sqrt{U_x^2+U_y^2+U_z^2}.
Aplicando:
\|\mathbf{U}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.
\|\mathbf{V}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Também vou precisar da norma do produto vetorial (para a área):
\|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|=\sqrt{(-2)^2+7^2+3^2}=\sqrt{4+49+9}=\sqrt{62}.

Passo 6

Cálculo do ângulo \theta entre os vetores usando o produto escalar.
Fórmula fundamental:
\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=\|\mathbf{U}\|\,\|\mathbf{V}\|\,\cos\theta.
Desse modo,
\cos\theta=\frac{\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}}{\|\mathbf{U}\|\,\|\mathbf{V}\|}.
Substituindo os valores que já encontramos:
\cos\theta=\frac{-2}{\sqrt{11}\,\sqrt{6}}=\frac{-2}{\sqrt{66}}.
Esse é o valor exato para \cos\theta. Para obter \theta usamos arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-2}{\sqrt{66}}\right).
Se quiser um valor numérico aproximado (útil na prova se pedirem grau):
Calcule \sqrt{66}\approx 8,124038, então \cos\theta\approx -0,246. Assim
\theta\approx 1,819\\ \text{rad}\approx 104,25^\circ.
(Arredonde conforme a precisão pedida na prova; eu deixei três casas decimais em radianos e duas em graus.)

Passo 7

Área do paralelogramo gerado por \mathbf{U} e \mathbf{V}.
Definição/prática: a área do paralelogramo formado por dois vetores é o módulo do produto vetorial:
\text{Área}=\|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|.Á
Já calculamos \|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|=\sqrt{62}. Portanto a área é
\text{Área}=\sqrt{62}.Á
Como verificação alternativa (mesma resposta por outra fórmula): a área também é \|\mathbf{U}\|\,\|\mathbf{V}\|\,|\sin\theta|. Se calcularmos |\sin\theta| a partir de \cos\theta teremos o mesmo resultado, e de fato \sqrt{11}\sqrt{6}\sqrt{1-\left(\frac{-2}{\sqrt{66}}\right)^2}=\sqrt{62} — você pode conferir isso algébrica e numericamente se quiser.

Resposta

(a) \mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=-2
(b) \mathbf{U}\times\mathbf{V}=-2\mathbf{i}+7\mathbf{j}+3\mathbf{k}
(c) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-2}{\sqrt{66}}\right)\approx 1,819\\ \text{rad}\approx 104,25^\circ
(d) \text{Área}=\sqrt{62}Á

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