(2 pt) Encontre a massa do fio fino que se encontra ao longo da curva
se a densidade é
Passo 1
O enunciado pede a massa de um fio fino cujo suporte é a curva
e cuja densidade linear em cada ponto é dada por
, onde
é a coordenada
do ponto. Para calcular a massa precisamos usar a integral de linha de primeira espécie
Precisamos parametrizar o fio pelo parâmetro
, encontrar
, expressar
em função de
e integrar sobre o intervalo apropriado de
. Observando que o fio começa em
(onde
) e termina quando z se anula
⇒
, e que para
a densidade ficaria negativa, adotamos
.
Passo 2
Calculamos a derivada
e o elemento de arco
Passo 3
Expressamos a densidade ao longo da curva: como
,
Assim a massa fica
Passo 4
Para resolver
fazemos
,
, de modo que
e, quando
,
; quando
,
. Logo
Multiplicando por 6, temos
Resposta
A massa do fio é
.