(2 pt) Encontre a massa do fio fino que se encontra ao longo da curva \mathbf{r}(t)=\sqrt{2} t \mathbf{i}+\sqrt{2} t \mathbf{j}+ \left(4-t^{2}\right) \mathbf{k} se a densidade é \lambda(x)=\frac{3 \sqrt{2}}{2} x

Passo 1

O enunciado pede a massa de um fio fino cujo suporte é a curva
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2}\,t\,\mathbf{i}+\sqrt{2}\,t\,\mathbf{j}+(4-t^{2})\,\mathbf{k}
e cuja densidade linear em cada ponto é dada por \lambda(x)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,x, onde x é a coordenada x do ponto. Para calcular a massa precisamos usar a integral de linha de primeira espécie
m=\int \lambda\,ds.
Precisamos parametrizar o fio pelo parâmetro t, encontrar \|\mathbf{r}'(t)\|, expressar \lambda em função de t e integrar sobre o intervalo apropriado de t. Observando que o fio começa em t=0 (onde x=0) e termina quando z se anula 4-t^2=0 t=2, e que para t<0 a densidade ficaria negativa, adotamos t\in[0,2].

Passo 2

Calculamos a derivada
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{2}\,t,\;\sqrt{2}\,t,\;4-t^2\bigr) =(\sqrt{2},\;\sqrt{2},\;-2t)
e o elemento de arco
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2+(-2t)^2} =\sqrt{2+2+4t^2} =2\sqrt{1+t^2}.

Passo 3

Expressamos a densidade ao longo da curva: como x(t)=\sqrt{2}\,t,
\lambda\bigl(x(t)\bigr) =\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) =\frac{3\cdot2}{2}\,t =3t.
Assim a massa fica
m=\int_{0}^{2}\lambda\bigl(x(t)\bigr)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt =\int_{0}^{2}3t\;\bigl(2\sqrt{1+t^2}\bigr)\,dt =6\int_{0}^{2}t\sqrt{1+t^2}\,dt.

Passo 4

Para resolver
\int_{0}^{2}t\sqrt{1+t^2}\,dt
fazemos u=1+t^2, du=2t\,dt, de modo que t\,dt=du/2 e, quando t=0, u=1; quando t=2, u=5. Logo
\int_{0}^{2}t\sqrt{1+t^2}\,dt =\int_{u=1}^{5}\sqrt{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du =\frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).
Multiplicando por 6, temos
m=6\cdot\frac{1}{3}\bigl(5^{3/2}-1\bigr) =2\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr) =10\sqrt{5}-2.

Resposta

A massa do fio é 10\sqrt{5}-2.

Exercícios relacionados