Determine o Domínio de cada uma das funçōes abaixo:
x^{3}-y^{2}-4 y
\frac{1}{2+x^{2}+y^{2}}
\ln \left(x^{2}-y^{2}\right)
\frac{1}{x^{2}-y^{2}}
\sqrt{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio de cinco funções de duas variáveis (x,y). O domínio de uma função de (x,y) é o conjunto de todos os pares para os quais a expressão faz sentido (não gera divisão por zero, logaritmo de argumento não positivo, raiz de número negativo etc.).

Passo 2

Função f_{1}(x,y)=x^{3}-y^{2}-4y.
É um polinômio em x e y, e polinômios estão definidos para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Função f_{2}(x,y)=\frac{1}{2+x^{2}+y^{2}}.
Devemos evitar divisão por zero. O denominador é
2 + x^{2} + y^{2}\,,
que satisfaz 2 + x^{2} + y^{2}\ge2>0 para todo (x,y). Logo, nunca anula e a função existe em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Função f_{3}(x,y)=\ln\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Para o logaritmo natural, é necessário ter o argumento estritamente positivo:
x^{2}-y^{2} > 0.
Portanto o domínio é o conjunto dos (x,y) tais que x^{2} > y^{2}.

Passo 5

Função f_{4}(x,y)=\frac{1}{\,x^{2}-y^{2}\,}.
Aqui só precisamos que o denominador não seja zero:
x^{2}-y^{2}\neq 0.
Então o domínio é \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}\neq y^{2}\}.

Passo 6

Função f_{5}(x,y)=\sqrt{x^{2}-y}.
Para a raiz quadrada real, o radicando deve ser não negativo:
x^{2}-y \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y \le x^{2}.
Logo o domínio é o conjunto dos (x,y) com y\le x^{2}.

Resposta

  1. D_{1}=\mathbb{R}^{2}.
  2. D_{2}=\mathbb{R}^{2}.
  3. D_{3}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}>0\}.
  4. D_{4}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}\neq 0\}.
  5. D_{5}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\le x^{2}\}.

Exercícios relacionados