(1.0 pt.) Para o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=3 y^{2 / 3} \\\ y(2)=0 \end{array}\right.
o Teorema da Existência e Unicidade implica a existência de uma solução? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=3\,y^{2/3},\\\ y(2)=0, \end{cases}
e pergunta se o Teorema de Existência e Unicidade garante existência de solução. Para aplicar esse teorema (Picard–Lindelöf), precisamos que a função
f(x,y)=3\,y^{2/3}
e sua derivada parcial em relação a y, \partial f/\partial y, sejam contínuas numa região em (x,y) contendo o ponto (2,0).

Passo 2

Verificamos continuidade de f. Como
y^{2/3}=(y^2)^{1/3},
essa função está bem definida e é contínua em todo \mathbb{R}, inclusive em y=0. Logo f(x,y)=3\,y^{2/3} é contínua em um retângulo qualquer que contenha (2,0).

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial
\frac{\partial f}{\partial y} =3\cdot\frac{2}{3}\,y^{-1/3} =2\,y^{-1/3}.
Esse termo não está definido em y=0 (fica singular), portanto \partial f/\partial y não é contínua em (2,0).

Passo 4

O teorema exige f contínua (ok) e \partial f/\partial y contínua (falha) no entorno do ponto inicial. Como a segunda condição não vale, não podemos aplicar o teorema para garantir unicidade, mas a continuidade de f sozinha já assegura existência local de pelo menos uma solução.

Resposta

Sim. O teorema garante existência de uma solução porque f(x,y)=3\,y^{2/3} é contínua em torno de (2,0). Entretanto, como \partial f/\partial y=2\,y^{-1/3} não é contínua em y=0, o teorema não assegura unicidade.

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