(1.0 pt.) Para o problema de valor inicial
o Teorema da Existência e Unicidade implica a existência de uma solução? Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pergunta se o Teorema de Existência e Unicidade garante existência de solução. Para aplicar esse teorema (Picard–Lindelöf), precisamos que a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, sejam contínuas numa região em
contendo o ponto
.
Passo 2
Verificamos continuidade de
. Como
essa função está bem definida e é contínua em todo
, inclusive em
. Logo
é contínua em um retângulo qualquer que contenha
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial
Esse termo não está definido em
(fica singular), portanto
não é contínua em
.
Passo 4
O teorema exige
contínua (ok) e
contínua (falha) no entorno do ponto inicial. Como a segunda condição não vale, não podemos aplicar o teorema para garantir unicidade, mas a continuidade de
sozinha já assegura existência local de pelo menos uma solução.
Resposta
Sim. O teorema garante existência de uma solução porque
é contínua em torno de
. Entretanto, como
não é contínua em
, o teorema não assegura unicidade.