Resolva as EDs abaixo usando a substituição adequada.
\frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=-x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=-x^{2}y^{2}.
O conteúdo principal é a equação de Bernoulli, que tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}.
Para esse tipo de equação usamos a substituição
v=y^{1-n}
de modo a transformá-la em uma equação linear em v.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão de Bernoulli.
Temos
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y = -x^{2}\,y^{2},
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P(x)=-\frac{2}{x},\quad Q(x)=-x^{2},\quad n=2.

Passo 3

Aplicamos a substituição
v = y^{1-n} = y^{-1}.
Calculamos dv/dx em termos de dy/dx:
v = \frac1y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\;\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Substituindo \tfrac{dy}{dx} da equação original em \tfrac{dv}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x}\,y - x^{2}\,y^{2},
então
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\Bigl(\frac{2}{x}\,y - x^{2}\,y^{2}\Bigr) = -\frac{2}{x\,y} + x^{2} = x^{2} - \frac{2v}{x}.
Isso gera a equação linear
\frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}\,v = x^{2}.

Passo 5

Para resolver \tfrac{dv}{dx} + \tfrac{2}{x}v = x^{2} usamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{2}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
x^{2}\frac{dv}{dx} + 2x\,v = x^{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}v\bigr) = x^{4}.
Integrando ambos os lados:
x^{2}v = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C,
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v = \frac{x^{3}}{5} + C\,x^{-2}.

Passo 6

Voltando à variável y, lembre que v=1/y. Assim,
\frac{1}{y} = \frac{x^{3}}{5} + C\,x^{-2} = \frac{x^{5} + 5C}{5\,x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{5\,x^{2}}{x^{5} + 5C}.
Podemos redefinir a constante geral como K=5C.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{5\,x^{2}}{x^{5} + K},
onde K é a constante de integração.

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