\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\operatorname{sen} x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to 0} \frac{\ln\bigl(1+\operatorname{sen} x\bigr)}{x}.
O tema aqui é cálculo de limite de forma indeterminada 0/0. Podemos usar a Regra de L’Hôpital ou desenvolver séries de Taylor.

Passo 2

Verificamos a forma na aproximação x \to 0: \ln(1+\operatorname{sen} x)\to\ln(1+0)=0 e x\to0.
Portanto temos a indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+\operatorname{sen} x\bigr) =\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x},
derivada do denominador:
\frac{d}{dx}x=1.
Logo
\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\operatorname{sen} x)}{x} =\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x} =\frac{\cos 0}{1+\operatorname{sen} 0} =\frac{1}{1+0} =1.

Resposta

1

Exercícios relacionados