Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
x^{2} \frac{d y}{d x}+\sin x-y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}\,\frac{dy}{dx} + \sin x - y = 0
nos tipos separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum (N). Vamos usar os testes padrão para cada caso.

Passo 2

Para verificar se é separável, escrevemos
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{y - \sin x}{x^{2}} \;=\;\frac{y}{x^{2}} \;-\;\frac{\sin x}{x^{2}}.
Uma EDO é separável se puder ser escrita como g(y)\,h(x). Aqui o termo em y e o termo em x aparecem somados, não multiplicados, logo não é separável.

Passo 3

Para testar se é linear, colocamos na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Dividindo a equação original por x^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}}\,y = -\,\frac{\sin x}{x^{2}}.
Como P(x) = -1/x^{2} e Q(x) = -\sin x/x^{2} dependem só de x, a EDO é linear de primeira ordem.

Passo 4

Para checar exatidão, escrevemos
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M = \sin x - y e N = x^{2}. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como -1 \neq 2x, não é exata.

Resposta

L

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