(1,0 pt.) Seja f=f(x, y, z) a função real de três variáveis reais dada por f(x, y, z)=2 y^{3} x+y e^{4 z}.
a) Determine o vetor gradiente de f, no ponto ( -2,1,0 ).
b) Determine o vetor \vec{u}=\frac{\nabla f(-2,1,0)}{\|\nabla f(-2,1,0)\|} e calcule \|\vec{u}\|.

Passo 1

O enunciado dá a função real de três variáveis
f(x,y,z)=2y^{3}x+y e^{4z}
e pede duas coisas:
  • (a) determinar o vetor gradiente de f no ponto (-2,1,0);
  • (b) determinar o vetor \vec{u}=\dfrac{\nabla f(-2,1,0)}{\|\nabla f(-2,1,0)\|} (o vetor unitário na direção do gradiente) e calcular \|\vec{u}\|.
Informações dadas que usarei: o ponto (-2,1,0) (ou seja, x=-2, y=1, z=0) e a expressão de f.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (explicação didática calma).
O vetor gradiente de f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Derivada parcial significa: derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes. Vou calcular cada componente separadamente, mostrando como aplicar regras básicas de derivação (produto, potência e exponencial).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
A única parte de f que depende de x é 2y^{3}x (pois y e^{4z} não depende de x). Tratando y e z como constantes:
\frac{\partial}{\partial x}\big(2y^{3}x\big)=2y^{3}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2y^{3}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Temos duas parcelas em f que dependem de y: 2y^{3}x e y e^{4z}.
  • Para 2y^{3}x, x é tratado como constante, então a derivada é 2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2} (regra da potência e do produto com constante).
  • Para y e^{4z}, e^{4z} é constante em relação a y, então a derivada é e^{4z}.
    Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=6x y^{2}+e^{4z}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Apenas y e^{4z} depende de z. Usando a regra da cadeia para e^{4z}:
\frac{d}{dz}e^{4z}=4e^{4z},
e multiplicando por y (que é constante ao derivar em relação a z):
\frac{\partial f}{\partial z}=4y e^{4z}.

Passo 6

Avaliar as derivadas parciais no ponto (-2,1,0).
Substituindo x=-2, y=1, z=0 nas expressões encontradas:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(-2,1,0)=2\cdot 1^{3}=2.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(-2,1,0)=6\cdot(-2)\cdot 1^{2}+e^{0}=-12+1=-11.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(-2,1,0)=4\cdot 1\cdot e^{0}=4.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla f(-2,1,0)=\big(2,\,-11,\,4\big).

Passo 7

Calcular a norma de \nabla f(-2,1,0) e o vetor unitário \vec{u}.
A norma (comprimento) de um vetor \big(a,b,c\big) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Assim,
\|\nabla f(-2,1,0)\|=\sqrt{2^{2}+(-11)^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+121+16}=\sqrt{141}.
O vetor unitário na direção do gradiente é dividir cada componente por \sqrt{141}:
\vec{u}=\frac{\nabla f(-2,1,0)}{\|\nabla f(-2,1,0)\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{141}},\;-\frac{11}{\sqrt{141}},\;\frac{4}{\sqrt{141}}\right).
Finalmente, verificando a norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{141}}\right)^{2}+\left(-\frac{11}{\sqrt{141}}\right)^{2}+\left(\frac{4}{\sqrt{141}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{4+121+16}{141}}=\sqrt{\frac{141}{141}}=1.

Resposta

(a) \nabla f(-2,1,0)=\left(2,-11,4\right)
(b) \displaystyle \vec{u}=\left(\frac{2}{\sqrt{141}},-\frac{11}{\sqrt{141}},\frac{4}{\sqrt{141}}\right),\quad \|\vec{u}\|=1

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