(1,0 pt.) Seja
a função real de três variáveis reais dada por
.
a) Determine o vetor gradiente de
, no ponto (
).
b) Determine o vetor
e calcule
.
a) Determine o vetor gradiente de
b) Determine o vetor
Passo 1
O enunciado dá a função real de três variáveis
e pede duas coisas:
- (a) determinar o vetor gradiente de
no ponto ; - (b) determinar o vetor
(o vetor unitário na direção do gradiente) e calcular .
Informações dadas que usarei: o ponto
(ou seja,
,
,
) e a expressão de
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (explicação didática calma).
O vetor gradiente de é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Em notação:
O vetor gradiente de
Derivada parcial significa: derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes. Vou calcular cada componente separadamente, mostrando como aplicar regras básicas de derivação (produto, potência e exponencial).
Passo 3
Calcular
.
A única parte de que depende de
é
(pois
não depende de
). Tratando
e
como constantes:
A única parte de
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Temos duas parcelas em que dependem de
:
e
.
Temos duas parcelas em
- Para
, é tratado como constante, então a derivada é (regra da potência e do produto com constante). - Para
, é constante em relação a , então a derivada é .
Somando:
Passo 5
Calcular
.
Apenas depende de
. Usando a regra da cadeia para
:
Apenas
e multiplicando por
(que é constante ao derivar em relação a
):
Passo 6
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Substituindo ,
,
nas expressões encontradas:
Substituindo
Logo o gradiente no ponto é
Passo 7
Calcular a norma de
e o vetor unitário
.
A norma (comprimento) de um vetor é
. Assim,
A norma (comprimento) de um vetor
O vetor unitário na direção do gradiente é dividir cada componente por
:
Finalmente, verificando a norma de
:
Resposta
(a)
(b)