(1,0 pt.) Seja z=z(x, y) a função dada por z=\sqrt[3]{5 x-2 y}.
a) Calcule a diferencial de z no ponto (2,1);
b) Usando a diferencial, calcule um valor aproximado para z, quando x=2,01 e y=0,99.

Passo 1

O enunciado dá a função \;z=z(x,y)=\sqrt[3]{5x-2y}\; e pede duas coisas:
  • (a) calcular a diferencial de z no ponto (2,1);
  • (b) usando essa diferencial, aproximar o valor de z quando x=2{,}01 e y=0{,}99.
As informações relevantes que temos:
  • a função explícita \;z(x,y)= (5x-2y)^{1/3}\;;
  • o ponto onde devemos avaliar a diferencial: (x_0,y_0)=(2,1);
  • os novos valores para aproximação: x=2{,}01 e y=0{,}99, logo os pequenos incrementos são \Delta x=0{,}01 e \Delta y=-0{,}01.

Passo 2

O que é a diferencial e por que ela ajuda na aproximação (explicação didática, sem pular etapas).
  • A diferencial \mathrm{d}z é a melhor aproximação linear da variação de z para pequenas variações em x e y. Em palavras: se x muda de x_0 para x_0+\Delta x e y muda de y_0 para y_0+\Delta y, então a variação de z pode ser aproximada por \mathrm{d}z.
  • A fórmula geral (fórmula fundamental que vamos usar) é:
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\,\mathrm{d}y,
onde \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} são as derivadas parciais de z em relação a x e y avaliadas no ponto de interesse, e \mathrm{d}x,\mathrm{d}y são os pequenos incrementos (na prática usamos \mathrm{d}x=\Delta x e \mathrm{d}y=\Delta y quando os incrementos são pequenos).
  • Intuição curta: \frac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só x muda (com y fixo); \frac{\partial z}{\partial y} idem para y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da função passo a passo (mostrando cada regra usada).
Temos \;z(x,y) = (5x-2y)^{1/3}. Vamos usar duas regras:
  1. Regra da potência: se w(u)=u^{1/3} então w'(u)=\dfrac{1}{3}u^{-2/3}.
  2. Regra da cadeia: derivada de w(g(x,y)) em relação a x é w'(g(x,y))\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Aqui g(x,y)=5x-2y. Então:
  • derivada parcial em x:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{3}(5x-2y)^{-2/3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(5x-2y) = \frac{1}{3}(5x-2y)^{-2/3}\cdot 5.
Em forma simplificada:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{5}{3}(5x-2y)^{-2/3}.
  • derivada parcial em y:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{3}(5x-2y)^{-2/3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(5x-2y) = \frac{1}{3}(5x-2y)^{-2/3}\cdot(-2).
Em forma simplificada:
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2}{3}(5x-2y)^{-2/3}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (2,1) com contas detalhadas.
Primeiro calcule o argumento interno em (2,1):
5x-2y\big|_{(2,1)} = 5\cdot 2 - 2\cdot 1 = 10-2=8.
Agora precisamos de 8^{-2/3}. Faça assim, passo a passo:
  • 8^{1/3}=2 porque 2^3=8.
  • Logo 8^{-2/3}=(8^{1/3})^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{4}.
Agora substituímos:
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(2,1)}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{5}{12}.
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(2,1)}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6}.

Passo 5

Escrever a diferencial \mathrm{d}z no ponto usando os valores obtidos.
Substituindo as derivadas parciais avaliadas em (2,1) na fórmula da diferencial, obtemos:
\mathrm{d}z\big|_{(2,1)}=\frac{5}{12}\,\mathrm{d}x - \frac{1}{6}\,\mathrm{d}y.
Isto responde a parte (a): a forma linear que aproxima variações de z perto de (2,1).

Passo 6

Usar a diferencial para aproximar z(2{,}01,0{,}99) (contas detalhadas).
As variações são
\Delta x = x-2 = 2{,}01-2 = 0{,}01,\qquad \Delta y = y-1 = 0{,}99-1 = -0{,}01.
Aproximamos a variação de z por \mathrm{d}z substituindo \mathrm{d}x=\Delta x e \mathrm{d}y=\Delta y:
\mathrm{d}z \approx \frac{5}{12}\cdot 0{,}01 - \frac{1}{6}\cdot(-0{,}01).
Calcule termo a termo (fazendo frações para evitar perda de precisão):
\frac{5}{12}\cdot 0{,}01=\frac{5}{12}\cdot\frac{1}{100}=\frac{5}{1200}=\frac{1}{240}\approx 0{,}004166\ldots
-\frac{1}{6}\cdot(-0{,}01)=+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{100}=\frac{1}{600}\approx 0{,}001666\ldots
Somando:
\mathrm{d}z \approx \frac{5}{1200}+\frac{1}{600}=\frac{5}{1200}+\frac{2}{1200}=\frac{7}{1200}.
Em decimal \frac{7}{1200}\approx 0{,}005833\ldots

Passo 7

Calcular a aproximação final de z e concluir (incentivo rápido).
O valor exato em (2,1) é
z(2,1)=\sqrt[3]{8}=2.
Aproximando o novo valor por z(2{,}01,0{,}99)\approx z(2,1)+\mathrm{d}z, obtemos
z(2{,}01,0{,}99)\approx 2 + \frac{7}{1200} = \frac{2400+7}{1200}=\frac{2407}{1200}\approx 2{,}005833\ldots
Dica rápida para a prova: calcule sempre as derivadas parciais em forma simbólica, avalie o argumento interno no ponto, simplifique potências (como fizemos com 8^{-2/3}) antes de multiplicar por pequenos incrementos — isso evita erros bobos e vai mais rápido.

Resposta

\mathrm{(a)}\\ \mathrm{d}z\big|_{(2,1)}=\dfrac{5}{12}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{6}\,\mathrm{d}y\n
\mathrm{(b)}\\ z(2{,}01,0{,}99)\approx \dfrac{2407}{1200}\approx 2{,}005833

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