(1,0 pt.) Seja z=z(x, y) a função dada por z=\sqrt[3]{5 x-2 y}.
a) Calcule a diferencial de z no ponto (2,1);
b) Usando a diferencial, calcule um valor aproximado para z, quando x=2,01 e y=0,99.
Passo 1
O enunciado dá a função \;z=z(x,y)=\sqrt[3]{5x-2y}\; e pede duas coisas:
(a) calcular a diferencial de z no ponto (2,1);
(b) usando essa diferencial, aproximar o valor de z quando x=2{,}01 e y=0{,}99.
As informações relevantes que temos:
a função explícita \;z(x,y)= (5x-2y)^{1/3}\;;
o ponto onde devemos avaliar a diferencial: (x_0,y_0)=(2,1);
os novos valores para aproximação: x=2{,}01 e y=0{,}99, logo os pequenos incrementos são \Delta x=0{,}01 e \Delta y=-0{,}01.
Passo 2
O que é a diferencial e por que ela ajuda na aproximação (explicação didática, sem pular etapas).
A diferencial \mathrm{d}z é a melhor aproximação linear da variação de z para pequenas variações em x e y. Em palavras: se x muda de x_0 para x_0+\Delta x e y muda de y_0 para y_0+\Delta y, então a variação de z pode ser aproximada por \mathrm{d}z.
A fórmula geral (fórmula fundamental que vamos usar) é:
onde \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} são as derivadas parciais de z em relação a x e y avaliadas no ponto de interesse, e \mathrm{d}x,\mathrm{d}y são os pequenos incrementos (na prática usamos \mathrm{d}x=\Delta x e \mathrm{d}y=\Delta y quando os incrementos são pequenos).
Intuição curta: \frac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só x muda (com y fixo); \frac{\partial z}{\partial y} idem para y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da função passo a passo (mostrando cada regra usada).
Temos \;z(x,y) = (5x-2y)^{1/3}. Vamos usar duas regras:
Regra da potência: se w(u)=u^{1/3} então w'(u)=\dfrac{1}{3}u^{-2/3}.
Regra da cadeia: derivada de w(g(x,y)) em relação a x é w'(g(x,y))\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Dica rápida para a prova: calcule sempre as derivadas parciais em forma simbólica, avalie o argumento interno no ponto, simplifique potências (como fizemos com 8^{-2/3}) antes de multiplicar por pequenos incrementos — isso evita erros bobos e vai mais rápido.