1,5 pt Seja h^prime(x). Calcule h^prime(1)=0 e observe que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que temos: a função é h(x)=sin^2l(ln(x^2)r). O objetivo é encontrar h'(x) usando regra da cadeia, derivada de ln e derivadas de funções trigonométricas, e depois verificar que h'(1)=0.

Passo 2

Definimos U=ln(x^2), de modo que h(x)=sin^2(U). Para derivar sin^2(U) em relação a U, usamos a regra da potência e a derivada de sin: a derivada de sin^2(U) é 2sin(U)cos(U).
Agora calculamos $U

Passo 3

=\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^2)\bigr]$. Aplicando a regra da cadeia em Aplicando a regra da cadeia em com com , temos , temos .

Passo 4

Juntando as duas partes pela regra da cadeia, obtemos:
h'(x)=2sin(U)cos(U)cdot2x=4xsin(U)cos(U)

Passo 5

Substituindo U=ln(x^2), fica:
h'(x)=4xsinl(ln(x^2)r)cosl(ln(x^2)r)

Passo 6

Podemos ainda usar a identidade sin(2a)=2sin(a)cos(a). Assim,
sinl(ln(x^2)r)cosl(ln(x^2)r)=tfrac12sinl(2ln(x^2)r),
e então
h'(x)=4xcdottfrac12sinl(2ln(x^2)r)=2xsinl(2ln(x^2)r)

Passo 7

Finalmente, para x=1 temos ln(1^2)=0 e sin(2cdot0)=0, logo h'(1)=0.

Resposta

h’(x) = 4xsin(ln(x^2))cos(ln(x^2)) = 2xsin(2ln(x^2)); e h’(1) = 0.

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