(a) Determine todos os autovalores de e descreva explicitamente os respectivos autoespaços.
(b) Existe uma base de formada por autovetores de ? Em caso positivo, determine a matriz de nessa base .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
Queremos (a) encontrar todos os autovalores de e descrever os respectivos autoespaços, e (b) verificar se há base de formada por autovetores de e, em caso afirmativo, determinar a matriz de nessa base. O conteúdo usado será cálculo de polinômio característico, resolução de sistemas lineares para cada valor próprio e conceito de diagonalização.
Portanto os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 1) e lambda=3 (multiplicidade 2).
Passo 3
Para
Da primeira e segunda equações vem . Logo
Passo 4
Para
Das duas primeiras vem . Assim
de dimensão 2.
Passo 5
Como dim E1 + dim E3 = 1 + 2 = 3, temos três autovetores linearmente independentes e T é diagonalizável. Podemos escolher a base de autovetores
B = l,v1=(1,1,0),;v2=(1,-1,0),;v3=(0,0,1)r,
onde v1,v3in E3 (lambda=3) e v2in E1 (lambda=1). Na base B, a matriz de T fica diagonal com entradas correspondentes aos autovalores na ordem dos vetores:
[T]B = 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Resposta
Os autovalores são e .
O autoespaço de é .
O autoespaço de é .
Como , existe base de autovetores e, tomando