(3 pt) Seja T: R^3 R^3 o operador linear definido por
T(x, y, z)=(2 x+y, x+2 y, 3 z)
(a) Determine todos os autovalores de T e descreva explicitamente os respectivos autoespaços.
(b) Existe uma base B de R^3 formada por autovetores de T ? Em caso positivo, determine a matriz de T nessa base B.

Passo 1

O enunciado define o operador linear TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x+y,;x+2y,;3z)
Queremos (a) encontrar todos os autovalores de T e descrever os respectivos autoespaços, e (b) verificar se há base de R^3 formada por autovetores de T e, em caso afirmativo, determinar a matriz de T nessa base. O conteúdo usado será cálculo de polinômio característico, resolução de sistemas lineares para cada valor próprio e conceito de diagonalização.

Passo 2

Formamos a matriz de T na base canônica:
[T] = 2 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 3
O polinômio característico é
det([T]-lambda I) = det!2-lambda & 1 & 01 & 2-lambda & 00&0&3-lambda = l((2-lambda)^2-1r),(3-lambda)
Expandindo,
(2-lambda)^2 - 1 = lambda^2 -4lambda +3 = (lambda-1)(lambda-3),
logo
chiT(lambda) = (lambda-1)(lambda-3)^2
Portanto os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 1) e lambda=3 (multiplicidade 2).

Passo 3

Para
Da primeira e segunda equações vem . Logo

Passo 4

Para
Das duas primeiras vem . Assim
de dimensão 2.

Passo 5

Como dim E1 + dim E3 = 1 + 2 = 3, temos três autovetores linearmente independentes e T é diagonalizável. Podemos escolher a base de autovetores
B = l,v1=(1,1,0),;v2=(1,-1,0),;v3=(0,0,1)r,
onde v1,v3in E3 ( lambda=3) e v2in E1 ( lambda=1). Na base B, a matriz de T fica diagonal com entradas correspondentes aos autovalores na ordem dos vetores:
[T]B = 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

Os autovalores são e .
O autoespaço de é .
O autoespaço de é .
Como , existe base de autovetores e, tomando
a matriz de em é

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