(2 pt) Determine
onde
é uma transformação linear com autovetores
associados, respectivamente, aos autovalores 0,1 e 2 .
Passo 1
O enunciado pede a forma de
para uma transformação linear
que tem três autovetores
com autovalores
. Para “determinar”
em coordenadas, precisamos que esses três vetores formem uma base de
, pois então poderíamos escrever qualquer
nessa base e aplicar
diagonalmente.
Passo 2
Verifiquemos a independência linear de
. Note que todos têm segunda componente igual a zero, isto é, pertencem ao plano
. Em particular,
são linearmente independentes e já geram um subespaço de dimensão 2. Mas
está dentro desse mesmo plano e, de fato, pode ser escrito como combinação de
e
. Por exemplo, resolvendo
obtém-se
. Logo
e os três vetores não são independentes.
Passo 3
Como os três autovetores não formam base de
, não conseguimos expressar todo
unicamente em termos de
. Em consequência, o enunciado não fornece informação sobre como
age em alguma direção complementar ao plano
.
Resposta
Não há como determinar de modo único a fórmula de
, pois os três vetores dados não formam uma base de
e falta especificar o comportamento de
fora do subespaço gerado por eles.