(2 pt) Determine T(x, y, z) onde T: R^3 R^3 é uma transformação linear com autovetores (-1,0,1),(1,0,2),(0,0,1) associados, respectivamente, aos autovalores 0,1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede a forma de T(x,y,z) para uma transformação linear T:R^3toR^3 que tem três autovetores
v1 = (-1,0,1), v2=(1,0,2), v3=(0,0,1)
com autovalores lambda1=0,;lambda2=1,;lambda3=2. Para “determinar” T em coordenadas, precisamos que esses três vetores formem uma base de R^3, pois então poderíamos escrever qualquer (x,y,z) nessa base e aplicar T diagonalmente.

Passo 2

Verifiquemos a independência linear de v1,v2,v3. Note que todos têm segunda componente igual a zero, isto é, pertencem ao plano y=0. Em particular, v1,,v2in(x,0,z) são linearmente independentes e já geram um subespaço de dimensão 2. Mas
v3=(0,0,1)
está dentro desse mesmo plano e, de fato, pode ser escrito como combinação de v1 e v2. Por exemplo, resolvendo
alpha(-1,0,1)+beta(1,0,2) ;=;(0,0,1)
obtém-se alpha=beta=tfrac13. Logo v3inspanv1,v2 e os três vetores não são independentes.

Passo 3

Como os três autovetores não formam base de R^3, não conseguimos expressar todo (x,y,z) unicamente em termos de v1,v2,v3. Em consequência, o enunciado não fornece informação sobre como T age em alguma direção complementar ao plano y=0.

Resposta

Não há como determinar de modo único a fórmula de T(x,y,z), pois os três vetores dados não formam uma base de R^3 e falta especificar o comportamento de T fora do subespaço gerado por eles.

Exercícios relacionados