a) Calcule a matriz que representa na base canónica.
b) Calcule uma base para o núcleo de . A transformação T é injectiva?
c) Calcule uma base para a imagem de . T é sobrejectiva?
d) Resolva a equação
e) Existe algum vector para o qual a equação é impossível?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear definida por . Pede-se: a) matriz na base canónica; b) base do núcleo e injecividade; c) base da imagem e sobrejectividade; d) resolver ; e) verificar se existe sem pré-imagem. Para isso vamos usar definição de transformação linear, cálculo de imagens de vetores da base, resolução de sistemas e os conceitos de núcleo (kernel), imagem (range), rank e nullity.
Passo 2
Para obter a matriz de na base canónica, calculamos as imagens dos vetores , e : , , .
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de é
Passo 3
A condição para o núcleo é . Isso gera o sistema
.
Da primeira equação temos . Substituindo na segunda vem ⇒ ⇒ .
Logo o núcleo é , i.e. . Como o núcleo não é só o vetor zero, não é injectiva.
Passo 4
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas da matriz, ou seja por e . Como esses vetores são linearmente independentes em , formam uma base de . Logo .
Como a dimensão da imagem é 2, igual à do contradomínio, é sobrejectiva.
Passo 5
Para resolver , montamos o sistema
.
Da segunda equação vem . Então fica a condição única.
Assim as soluções são .
Passo 6
Como é sobrejectiva (imagem igual a ), para todo existe tal que . Portanto não há nenhum impossível de atingir.
Resposta
a) A matriz de na base canónica é
b) ker(T)=span(1,-1,0). Como o núcleo não é trivial, T não é injectiva.
c) Im(T)=span(1,1),(0,-1)=R^2. Logo T é sobrejectiva.
d) As soluções de T(x,y,z)=(1,1) são
(t,1-t,0)mid tinR
e) Não existe (a,b)inR^2 impossível, pois T é sobrejectiva.