(5,0 pt) Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+y, x+y-z)
a) Calcule a matriz que representa T na base canónica.
b) Calcule uma base para o núcleo de T. A transformação T é injectiva?
c) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva?
d) Resolva a equação T(x, y, z)=(1,1)
e) Existe algum vector (a, b) in R^2 para o qual a equação T(x, y, z)=(a, b) é impossível?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^3toR^2 definida por
T(x,y,z)=(x+y,;x+y-z). Pede-se: a) matriz na base canónica; b) base do núcleo e injecividade; c) base da imagem e sobrejectividade; d) resolver T(x,y,z)=(1,1); e) verificar se existe (a,b) sem pré-imagem. Para isso vamos usar definição de transformação linear, cálculo de imagens de vetores da base, resolução de sistemas e os conceitos de núcleo (kernel), imagem (range), rank e nullity.

Passo 2

Para obter a matriz de T na base canónica, calculamos as imagens dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1):
T(e1)=(1+0,1+0-0)=(1,1),
T(e2)=(0+1,0+1-0)=(1,1),
T(e3)=(0+0,0+0-1)=(0,-1).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de T é

Passo 3

A condição para o núcleo é T(x,y,z)=(0,0). Isso gera o sistema
x+y=0
x+y-z=0.
Da primeira equação temos y=-x. Substituindo na segunda vem -x+x-z=0 -z=0 z=0.
Logo o núcleo é (x,-x,0), i.e. span(1,-1,0). Como o núcleo não é só o vetor zero, T não é injectiva.

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz, ou seja por (1,1) e (0,-1). Como esses vetores são linearmente independentes em R^2, formam uma base de R^2. Logo
Im(T)=span(1,1),(0,-1)=R^2.
Como a dimensão da imagem é 2, igual à do contradomínio, T é sobrejectiva.

Passo 5

Para resolver T(x,y,z)=(1,1), montamos o sistema
x+y=1
x+y-z=1.
Da segunda equação vem z=0. Então x+y=1 fica a condição única.
Assim as soluções são (x,y,z)=(t,1-t,0)mid tinR.

Passo 6

Como T é sobrejectiva (imagem igual a R^2), para todo (a,b)inR^2 existe (x,y,z) tal que T(x,y,z)=(a,b). Portanto não há nenhum (a,b) impossível de atingir.

Resposta

a) A matriz de T na base canónica é
1 & 1 & 0 1 & 1 & -1
b) ker(T)=span(1,-1,0). Como o núcleo não é trivial, T não é injectiva.
c) Im(T)=span(1,1),(0,-1)=R^2. Logo T é sobrejectiva.
d) As soluções de T(x,y,z)=(1,1) são
(t,1-t,0)mid tinR
e) Não existe (a,b)inR^2 impossível, pois T é sobrejectiva.

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