(1,0 pt) Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y, 0).

Passo 1

A questão nos dá uma transformação T: R^2toR^2 definida por T(x,y)=(2x-y,0). O conteúdo é transformações lineares, e vamos precisar usar a definição: T é linear se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para verificar aditividade, tomamos dois vetores gerais (x1,y1) e (x2,y2). Então fazemos:
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1+x2,y1+y2)
Calculando o lado esquerdo em separado:
T(x1+x2,y1+y2)=l(2(x1+x2)-(y1+y2),0r)=(2x1-y1,0)+(2x2-y2,0)
Ou seja,
T(x1+x2,y1+y2)=T(x1,y1)+T(x2,y2),
portanto satisfaz aditividade.

Passo 3

Para verificar homogeneidade, tomamos um escalar c e um vetor (x,y). Então
Tl(c(x,y)r)=T(cx,cy)=(2(cx)-cy,0)=(c(2x-y),0)=c,(2x-y,0)=c,T(x,y)
Então a homogeneidade também vale.

Passo 4

Como tanto aditividade quanto homogeneidade estão satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=(2x-y,0) é linear.

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