Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
.
Passo 1
A questão nos dá uma transformação T:
definida por
. O conteúdo é transformações lineares, e vamos precisar usar a definição: T é linear se satisfaz aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Para verificar aditividade, tomamos dois vetores gerais
e
. Então fazemos:
Calculando o lado esquerdo em separado:
Ou seja,
portanto satisfaz aditividade.
Passo 3
Para verificar homogeneidade, tomamos um escalar
e um vetor
. Então
Então a homogeneidade também vale.
Passo 4
Como tanto aditividade quanto homogeneidade estão satisfeitas, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.