(1,0 pt) Tangente e normal: Para f(x)=\cos x no ponto x_{0}=\frac{\pi}{3} :
(a) calcule f^{\prime}\left(x_{0}\right);
(b) escreva a equação da reta tangente;
(c) escreva a equação da reta normal.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos x e o ponto x_{0}=\dfrac{\pi}{3}. Pede três coisas:
  • (a) calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right);
  • (b) escrever a equação da reta tangente a y=f(x) em x_{0};
  • (c) escrever a equação da reta normal a y=f(x) em x_{0}.
Informações relevantes fornecidas: a função explícita f(x)=\cos x e o ponto x_{0}=\dfrac{\pi}{3}. Nada mais é dado.

Passo 2

Entendendo o que é f^{\prime}(x_{0}). Por definição, a derivada f^{\prime}(x_{0}) é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto x_{0}. Em termos operacionais, para funções usuais usa-se regras de derivação em vez do limite definicional para agilizar cálculos. A regra que usaremos é a derivada da função \cos x.

Passo 3

Fórmula que usaremos: a derivada de \cos x é
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
Explicando essa fórmula de forma simples: a derivada indica a taxa de variação instantânea de \cos x; para cada x essa taxa vale -\sin x. Não é preciso refazer a prova do limite aqui na prova, basta saber essa regra padrão de derivação.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso ponto:
f^{\prime}(x)= -\sin x \quad\Rightarrow\quad f^{\prime}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)= -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right).
Agora lembramos o valor trigonométrico: \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
f^{\prime}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Também precisamos do ponto do gráfico em x_{0}, isto é f\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right). Como f(x)=\cos x,
f\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.
Então o ponto no plano é \Big(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{1}{2}\Big) e a inclinação da tangente é m_{\text{tan}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação). A forma ponto-inclinação da reta com inclinação m passando por (x_{0},y_{0}) é
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Substituindo m=m_{\text{tan}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, x_{0}=\dfrac{\pi}{3} e y_{0}=\dfrac{1}{2}, obtemos a equação da tangente:
y-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right).
Se for pedido em forma explícita (slope-intercept), podemos desenvolver:
y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,x + \dfrac{\sqrt{3}\pi}{6} + \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Entendendo a reta normal. A reta normal ao gráfico em x_{0} é a reta que passa pelo mesmo ponto \Big(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{1}{2}\Big) e é perpendicular à tangente. Se a tangente tem inclinação m_{\text{tan}}\neq0, a inclinação da normal é o negativo do recíproco:
m_{\text{norm}} = -\dfrac{1}{m_{\text{tan}}}.
Cálculo aqui: m_{\text{tan}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então
m_{\text{norm}} = -\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
(Na última igualdade foi feita a racionalização do denominador para uma forma alternativa.)

Passo 8

Equação da reta normal usando ponto-inclinação:
y-\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right).
Também se desejar em forma explícita:
y = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\,x \;+\; \dfrac{1}{2} - \dfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}.

Resposta

(a) f^{\prime}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
(b) y-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)
(c) y-\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)

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