(1,0 pt) Tangente e normal: Para
no ponto
:
(a) calcule
;
(b) escreva a equação da reta tangente;
(c) escreva a equação da reta normal.
(a) calcule
(b) escreva a equação da reta tangente;
(c) escreva a equação da reta normal.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede três coisas:
- (a) calcular
; - (b) escrever a equação da reta tangente a
em ; - (c) escrever a equação da reta normal a
em .
Informações relevantes fornecidas: a função explícita
e o ponto
. Nada mais é dado.
Passo 2
Entendendo o que é
. Por definição, a derivada
é o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Em termos operacionais, para funções usuais usa-se regras de derivação em vez do limite definicional para agilizar cálculos. A regra que usaremos é a derivada da função
.
Passo 3
Fórmula que usaremos: a derivada de
é
Explicando essa fórmula de forma simples: a derivada indica a taxa de variação instantânea de
; para cada
essa taxa vale
. Não é preciso refazer a prova do limite aqui na prova, basta saber essa regra padrão de derivação.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso ponto:
Agora lembramos o valor trigonométrico:
. Portanto
Passo 5
Também precisamos do ponto do gráfico em
, isto é
. Como
,
Então o ponto no plano é
e a inclinação da tangente é
.
Passo 6
Equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação). A forma ponto-inclinação da reta com inclinação
passando por
é
Substituindo
,
e
, obtemos a equação da tangente:
Se for pedido em forma explícita (slope-intercept), podemos desenvolver:
Passo 7
Entendendo a reta normal. A reta normal ao gráfico em
é a reta que passa pelo mesmo ponto
e é perpendicular à tangente. Se a tangente tem inclinação
, a inclinação da normal é o negativo do recíproco:
Cálculo aqui:
, então
(Na última igualdade foi feita a racionalização do denominador para uma forma alternativa.)
Passo 8
Equação da reta normal usando ponto-inclinação:
Também se desejar em forma explícita:
Resposta
(a)
(b)
(c)