(
pt) Considere
. Determine:
(a) a equação da reta tangente em
;
(b) a equação da reta normal em
.
(a) a equação da reta tangente em
(b) a equação da reta normal em
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede duas coisas:
- (a) a equação da reta tangente à curva
em ; - (b) a equação da reta normal à curva
em .
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto em que queremos as retas:
.
Passo 2
O que é a reta tangente em um ponto? A reta tangente à curva
em
é a reta que toca a curva em
e tem inclinação igual à derivada
. A forma ponto-inclinação da reta é
Por isso precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos achar a derivada
de
. Usando a definição de derivada (limite do quociente incremental):
Factorizando a diferença de logaritmos:
Faça a substituição
. Quando
também
, e
. Assim
Conhecimento básico de limites dá
. Portanto
Passo 4
Agora avaliamos em
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Temos então o ponto
e a inclinação da tangente igual a
.
Passo 5
Escrevendo a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
dá
(Esta é a forma da reta tangente; a forma explícita será colocada na seção de resposta final.)
Passo 6
Reta normal: definição e construção. A reta normal à curva em um ponto é a reta que passa pelo mesmo ponto e é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal
é o oposto do recíproco:
Aqui
, logo
Usando a forma ponto-inclinação para a normal passando por
:
(A forma explícita final da normal está na seção de resposta.)