( \mathbf{1 , 0} pt) Considere f(x)=\ln x. Determine:
(a) a equação da reta tangente em x_{0}=1;
(b) a equação da reta normal em x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln x e o ponto x_{0}=1. Pede duas coisas:
  • (a) a equação da reta tangente à curva y=f(x) em x_{0}=1;
  • (b) a equação da reta normal à curva y=f(x) em x_{0}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x)=\ln x.
  • O ponto em que queremos as retas: x_{0}=1.

Passo 2

O que é a reta tangente em um ponto? A reta tangente à curva y=f(x) em x=x_{0} é a reta que toca a curva em (x_{0},f(x_{0})) e tem inclinação igual à derivada f'(x_{0}). A forma ponto-inclinação da reta é
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).
Por isso precisamos calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}).

Passo 3

Vamos achar a derivada f'(x) de f(x)=\ln x. Usando a definição de derivada (limite do quociente incremental):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}.
Factorizando a diferença de logaritmos:
\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{x+h}{x}\big)}{h} =\frac{\ln\!\big(1+\dfrac{h}{x}\big)}{h}.
Faça a substituição u=\dfrac{h}{x}. Quando h\to0 também u\to0, e h=ux. Assim
f'(x)=\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{ux} =\frac{1}{x}\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Conhecimento básico de limites dá \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1. Portanto
f'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora avaliamos em x_{0}=1.
Calcule f(1):
f(1)=\ln 1=0.
Calcule f'(1):
f'(1)=\frac{1}{1}=1.
Temos então o ponto (1,0) e a inclinação da tangente igual a 1.

Passo 5

Escrevendo a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y - f(1) = f'(1)\,(x - 1).
Substituindo f(1)=0 e f'(1)=1
y - 0 = 1\cdot (x - 1).
(Esta é a forma da reta tangente; a forma explícita será colocada na seção de resposta final.)

Passo 6

Reta normal: definição e construção. A reta normal à curva em um ponto é a reta que passa pelo mesmo ponto e é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da tangente é m_{\text{t}}, a inclinação da normal m_{\text{n}} é o oposto do recíproco:
m_{\text{n}} = -\frac{1}{m_{\text{t}}}.
Aqui m_{\text{t}}=f'(1)=1, logo
m_{\text{n}}=-\frac{1}{1}=-1.
Usando a forma ponto-inclinação para a normal passando por (1,0):
y - 0 = (-1)\,(x - 1).
(A forma explícita final da normal está na seção de resposta.)

Resposta

\text{reta tangente: } y = x - 1
\text{reta normal: } y = -x + 1

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